1.5.3定积分的概念 (2)

1.5.3定积分的概念,邯郸一中任立绵,求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x,(2)近似代替:以直代曲任取xi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f()而宽为x的小矩形面积f()x近似之.,xi,xi+1,xi,(3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为,探究一定积分的概念,思考,答案两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.,分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点.,定积分的概念,常数,常数,定积分的定义式:,定积分的相关名称：,a,b积分区间,积分下限,积分上限,【合作探究】1.定积分是一系列函数值与对应自变量积的和的极限，它是一个变量还是一个常量？与积分变量是否有关？提示：常量；与被积函数f(x)和积分区间a，b有关，与积分变量用什么字母表示无关.2.求定积分的步骤与求曲边梯形的面积的步骤有什么关系？提示：相同，都是按四个步骤进行.,【过关小练】,6,探究二定积分的几何意义和性质,1.如果在区间a，b上，函数f(x)0，则定积分f(x)dx与由曲线y=f(x)、直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S有什么关系？提示：相等.,2.如果在区间a，b上，函数f(x)0，则定积分f(x)dx与由曲线y=f(x)、直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积S有什么关系？提示：互为相反数.,当,总有,探究二定积分的几何意义和性质,根据以上探究过程，试总结出定积分的几何意义与性质.1.定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有_，那么定积分表示由直线_和曲线_所围成的曲边梯形的面积.,f(x)0,x=a，x=b，y=0,y=f(x),探究二定积分的几何意义和性质,【过关小练】,2.定积分的基本性质,性质1,性质2,(k为常数),【过关小练】用定积分表示图中蓝色阴影部分的面积,性质3.定积分关于积分区间具有可加性,(其中acb),定积分的几何意义,表示各部分面积的代数和,【过关小练】,【合作探究】定积分的性质(2)(3)可以进一步推广吗？提示：(2)的推广(3)的推广,定积分运算性质的两个关注点(1)线性运算：定积分的性质(1)(2)称为定积分的线性运算，等式两边积分区间保持不变.(2)区间可加性：定积分的性质(3)，称为定积分对积分区间的可加性，等式右边任意两个积分区间的交集都是空集，各个积分区间的并集等于左边的积分区间.,题型探究一利用定积分的定义求定积分,例1利用定积分的定义，计算(3x2)dx的值.,解令f(x)3x2.(1)分割,(2)近似代替、求和,(3)取极限,利用定义求定积分的步骤,反思与感悟,解令f(x)x2.,题型探究二利用定积分的几何意义求定积分,例2说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.,变式探究1.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求,2.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求,2.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求,变式探究1.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求,2.将例2(3)改为利用定积分的几何意义求,解由定积分的性质得，,1.利用定积分所表示的几何意义求的值的关键是确定由曲线直线直线及轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.,反思与感悟,跟踪训练2利用定积分的几何意义，求