第5节线线角与线面角

第5节线线角与线面角,要点疑点考点,1.线线角,(2)范围：,(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a、b所成的角.,2.线面角,(3)范围：,(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角,(2)若直线l平面，则l与所成角为直角若直线l平面，或直线l平面，则l与所成角为0,(4)射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短,(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.,2.相交成90的两条直线与一个平面所成的角分别是30与45，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为()(A)(B)(C)(D),1.平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是()(A)30(B)60(C)90(D)150,课前热身,C,C,3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_.,4.异面直线a、b成80角，P为a、b外一定点，若过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为，则的范围是()(A)(B)(C)(D),B,A,5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D),能力思维方法,1.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.,【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相交直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图形，化归为平面几何问题来解决.,2.如图，在正方体AC1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.,【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”.也就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题中BO就是平面的垂线，垂足H的位置也必须利用图形的性质来确定.,3.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分别是A1B1和BB1的中点.求：(1)EH与AD1所成的角；(2)AC1与B1C所成的角.,【解题回顾】(2)中为了找到异面直线AC1与B1C所成的角，需将AC1平移出长方体外，实际上是在原长方体外，再拼接一个完全相同的长方体，这是立体几何中常见的方法之一.,4.在120的二面角-l-的两个面、内分别有A、B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB=10，求：(1)AB与l所成的角；(2)AB与平面所成的角.,【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.,延伸拓展,5.在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角.,【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形，那是不对的，因存在四边相等的空间四边形，所以必须证B、E、D、F四点共面.第(3)小题应用了课本一道习题的结论，才证明了AD在平面BEDF内的射影在BD上,误解分析,2.凡立体几何求角或距离的解