总体和样本PPT课件

,1.总体和样本,一、总体和样本,例某钢铁厂某天生产10000根钢筋，规定强度小于52kg/mm2的算作次品，如何来求这批钢筋的次品率？是否需要测量每根钢筋的强度呢？,一般来说是不需要的.只要从这10000根钢筋中抽取一部分，比如100根，测量这100根钢筋的强度，就可以推断出整批钢筋的次品率了，这就是抽样检验.,事实上，全面检验是有困难的有些检验是有破坏性的，如使用寿命;产品数量大，或检验成本太高，人力、物力、时间不允许等例如：有一批棉花，需要检查纤维的长度，我们当然不可能去测量每一根棉花纤维的长度。数理统计提供了一整套方法，保证可以通抽样检验做出可靠的科学结论。,直观地说，被观察对象的全体称作总体；总体的每一基本单元称作个体或样品；从总体中抽出的一部分个体组成一个样本，样本中所含个体的个数称作样本的容量或大小。如前例所说，10000根钢筋的强度是总体，每一根钢筋的强度是一个个体，抽查的100根钢筋的强度是一个样本，它的容量是100。,更确切的说，对这批钢筋，我们关心的是它的强度的分布，如强度低于52kg/mm2的比例是多少.设X表示“任一根钢筋的强度”，X是一个随机变量.它的概率分布就反映了这批钢筋的强度的分布，即把总体看做一个随机变量。,从总体中抽取一个个体就是做一次随机试验，而“任取n根钢筋，测其强度”就是做n次随机试验，得到容量为n的样本.因为抽取是随机的，故可以样本看做n个随机变量。当试验是同重复独立试验时，与总体有相的分布，这样的样本称作简单随机样本。,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是,(1)与总体X有相同的分布,(2)相互独立,简单随机样本,N/n10.,总体中个体总数,样本容量,由定义,若总体是离散型随机变量，其分布律为则样本的联合分布为若是连续型随机变量，其分布密度为则样本的联合分布密度是,二、频率分布表与直方图,一、频率分布表设总体是离散型随机变量，是一组样本值，取到的值为，并且取到的个数分别为，则样本容量，我们称为出现的频数，而出现的频率为显然，,例1对100块焊接完的电路板进行检查，每块板上焊点不光滑的个数的频数分布表和频率分布表如下图所示,从上表可大体知道这批电路板的不光滑情况，可近似地作为“每块板上不光滑点个数”X的分布律.,二、直方图,当总体是连续型随机变量时，可采用直方图来处理数据(样本值).设为给定的一组样本值，处理步骤如下：1）简化数据，令由于数据总在某个某个数值上下波动，可以选取适当的常数，把样本值化为位数较少的整数，为方面起见，化简后的数值仍记为.,2)求中的最大最小值.记3)分组.a)确定组数和组距.选定组数，取组距一般情况下，应取数据的最小单位的整数倍.b)确定各组的上下界.取第一组的下界应略小于，使得落入第一组内，即然后令,为了使每个数据都落入组内，应使分点比样本值多一位小数.计算频率，记为落入第个区间的频数，则频率为画直方图.以为底，为高画小长方形.显然，所有小长方形面积之和等于1：,样本直方图与密度函数的关系？,根据大数定律，近似等于随机变量落入区间内的概率，即设的密度函数为，则如果在区间内连续,下面举例说明画直方图的全过程及注意事项,例2某食品厂为加强质量管理，在某天生产的一大批罐头中抽查了100个，测得内装食品的净重数据如下（单位：g）：,解1)简化数据.取c=340,d=1.令.简化后的数据如下图,2)求最大值和最小值.由上表知，最小值为-8，最大值为18.3)分组a)确定组数和组距.考虑到样本容量n=100,取组数m=10.由于(18+8)/10=2.6,取组距.b)确定各组的上、下界.取,依次得-5.5,-2.5,0.5,3.5,6.5,9.5,12.5,15.5,18.5.4)计算频率5)画直方图.注意.,三、经验分布函数,对给定的一组样本值，将它们按从小到大的顺序排列：对任意实数，定义称为经验分布函数.,例如，给定样本值5,3,7,5,4.将它们从小到大重新排列:3,4,5,5,7.经验分布函数为,记,发生的概率.根据贝努利大数定律,对任意的,有事实上，可以证明下述更强的结论：,根据经验分布函数的定义，,中不大于x的个数）,定理(格列汶科)设总体的分布函数为,当，经验分布函数以概率1关于一致地收敛于,即注：上述定理表明，当样本容量充分大时,样本取值的分布相当准确的反映总体的分布.,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,四、统计量和抽样分布,1.统计量,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.,几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值的信息,它反映了总体方差的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k阶矩的信息,它反映了总体k阶中心矩的信息,2.顺序统计量,定义:设,为取自总体X的样本，,将其按大小顺序排序,则称X(k)为第k个次序统计量(No.kOrderStatistic),特别地，称,为最小顺序统计量(MinimumorderStatistic),称,为最大顺序统计量(MaximumorderStatistic)。,称,为偶数,为奇数,为样本中位数.,称为样本极差，反映了样本的离散程度，也反映了总体的离散程度.,3.抽样分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.只是强调这一分布是由一个统计量所产生的.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分布,（小样本问题中使用）,（大样本问题中使用),五.统计三大分布,记为,分布,1、,定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,来定义.,其中伽玛函数通过积分,请看演示,c2分布,由分布的定义，不难得到：,1.设相互独立,都服从正态分布,则,2.设且X1,X2相互独立，则,这个性质叫分布的可加性.,应用中心极限定理可得，若,的分布近似正态分布N(0,1).,则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n,若,定理（柯赫伦定理）设相互独立,都服从正态分布N(0,1),T的密度函数为：,记为Tt(n).,所服从的分布为自由度为n的t分布.,定义:设XN(0,1),Y,且X与Y相互独立，则称变量,2、t分布,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,由定义可见，,3、F分布,定义:设X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2).,F(n2,n1),即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,若XF(n1,n2)，X的概率密度为,请看演示,F分布,t分布与F分布的关系,由t分布的定义，设,其中,且X,Y独立,故,当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.,六、几个重要的抽样分布定理,定理1(样本均值的分布),定理2(样本方差的分布),定理3,与,相互独立,定理4(两总体样本均值差的分布),与,相互独立,定理5(两总体样本方差比的分布),若,则,例1从正态总体,中，抽取了,n=20的样本,(1)求,(2)求,例2设r.v.X与Y相互独立，XN(0,16),YN(0,9),X1,X2,X9与Y1,Y2,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求的分布.,例3设总体,为总体X,3.单个次序统计量的分布,定理1：设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，为样本，则第k个次序统计量的密度函数为,推论1：最大次序统计量的概率密度函数为,推论2：最小次序统计量的概率密度函数为,图5-8x(k)的取值示意图,样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,x+x概率为F(x+x)-F(x),落入区间(x+x,b的概率为1-F(x+x)，而将n个分量分成这样的三组，总的分法有,种，于是，若以Fk(x)记的分布函数，则由多项分布可得,两边同除以x,并令x0,即有,定理2：设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，为样本，则第k个次序统计量和第r个次序统计量的联合概率密度函数为,上述5个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.,七、下侧分位数,（一）总体分位数,定义1.5.4：设总体X的分布函数为F(x)，满足,的x称为X的-下侧分位数，如下图所示。,例如，=0.975，而,所以，Z0.975=1.96.,对标准正态分布变量Z，对给定的(01),PXx=,七、上侧分位数,PUu=,例如，=0.05，而,PU1.645=0.05,所以，u0.05=1.645.,位数都在书后附表中可以查到。,这里要注意到如下几个有用的事实。,2）对于Tt(n)，同样地，由密度函数的对称性可知,即得,3）对于F分布,由于,所以,即,的点u/2称为标准正态分布的双侧分位数。,u/2可由PUu/2=/2,即(u/2)=1-/2,反查标准正态分布表得到，,PU1.96=0.05/2,例如，求u0.05/2，,得u0.05/2=1.96,双侧分位数,标准正态分布的分位数,在实际问题中，常取0.1、0.05、0.01.,常用到下面几个临界值：,u0.05=1.645，u0.