矢性函数的微分与积分

矢量分析与场论,第3讲矢性函数的微分与积分张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院,主要内容,1.矢性函数导数公式的应用2.导矢的几何应用3.导矢的物理应用4.矢性函数的不定积分5.矢性函数的定积分教材：第1章，第2节，第3节,1.矢性函数导数公式的应用,解：,1.矢性函数导数公式的应用,解：,在处：,1.矢性函数导数公式的应用,解：,1.矢性函数导数公式的应用,证：,例7：矢性函数的模不变的充要条件是：,设，则：,对上式两边求导，得到：,1.矢性函数导数公式的应用,证：,反之，设：,则有：,即：,例7：矢性函数的模不变的充要条件是：,1.矢性函数导数公式的应用,定长矢量与其导矢相互垂直。,对于单位矢量，有：,对于圆函数，有，,例7：矢性函数的模不变的充要条件是：,1.矢性函数导数公式的应用,证明圆柱螺旋线的切线与轴成定角（习题1第8题）。,证：,2.导矢的几何应用,曲线的切线和法平面,表示曲线的切线方向。在点处，,引入切线的动点，对应的矢量为：,2.导矢的几何应用,须满足：,式中为常数，可以写出切线方程：,或写为：,2.导矢的几何应用,曲线的法平面是指与切线相垂直的平面。,而：,设是法平面上的任一个动点，可以得到：,法平面方程：,2.导矢的几何应用,曲面的法线和切平面,设曲面的方程为：,两边取导数，得到：,是经过的任意一条曲线，有：,（1）,2.导矢的几何应用,曲面的法线和切平面,方程（1）可以表示为：,的方向为法线方向。,2.导矢的几何应用,曲面的法线和切平面,切平面方程：,对于和，法线方程是：,3.导矢的物理应用,牛顿力学主要讨论矢量函数，为运动轨迹。,为路程，为的函数。,为一切向单位矢量，指向增大的一方。,为速率，则：,3.导矢的物理应用,运动速度为切线方向。,切向单位矢：,速度矢量：,加速度矢量：,法向单位矢：,3.导矢的物理应用,证：,其中为角速度的模，为常数，从而加速度,由于，所以：,4.矢性函数的不定积分,若已知是的一个原函数，则有：,（是任意常矢量）,定义：若在的某个区间上，有，则称为在此区间的一个原函数。在此区间上，的原函数的全体，叫做在上的不定积分，记作：,4.矢性函数的不定积分,性质：为非零常数，为非零常矢。,4.矢性函数的不定积分,证：,同理有分量，相加得：,4.矢性函数的不定积分,若，则有：,一个矢性函数的不定积分，归结为三个数性函数的不定积分。,换元法和分部积分法也适用于矢性函数。,由于：,4.矢性函数的不定积分,例1：计算,解：利用换元积分法，令，则：,4.矢性函数的不定积分,例2：计算,解：利用分部积分法，有：,4.矢性函数的不定积分,解：,4.矢性函数的不定积分,解：,5.矢性函数的定积分,定义：设矢性函数在区间上连续，则在上定积分是指下面形式的极限：,其中；为区间上的一点；,5.矢性函数的定积分,不定积分的性质同样适用于定积分,若是连续矢性函数在区间上的一个原函数，则有：,5.矢性函数的定积分,解：,5.矢性函数的定积分,例：求的圆柱螺旋线长度。,解：已知圆柱