2016年天津市五区县高考数学一模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年天津市五区县高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1已知 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|2x 1 0，则 AB=（ ） A 2， 1， 0， 1， 2 B 0， 1， 2 C 0， 1 D 1， 2 2设实数 x， y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ） A 3 B 11 C 15 D不存在 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 13 C 10 D 13 4 L 一个几何体的三视图如图所示（单位： m），其正视图、侧视图均有一个角为 60的菱形，俯视图为边长为 1 的 正方形，则该几何体的体积为（ ） A 设 a R，则 “a 1”是 “|a 2|”的（ ） 第 2 页（共 18 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6如图， O 的半径为 6，线段 O 相交于点 C、 D， O 相交于点 E， ， A，则 ） A 4 B 5 C 6 D 10 7双曲线 =1（ a b 0）的右焦点与抛物线 p 0）的焦点 F 重合，两条曲线在第一象限的交点为 M，若 x 轴，则该双曲线的离心率 e=（ ） A B +1 C D 1 8已知函数 ，若方程 f（ x） =a 有四个不同的解 的取值范围为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1 C（ ， 1） D 1， 1） 二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 a=_ 10已知（ 2x ） 7 的展开式中含 的项的系数是 84，则实数 a=_ 11任取 x， y 0， 1，则点（ x， y）落在抛物线 y2=x 和 x2=y 围成的封闭区域内的概率为 _ 12在等腰 ，已知 ， 20，若点 P 是 上的动点，点 E 满足=3 ，则 的最大值和最小值之差是 _ 13在 ，若 A= ， ， ， D 是 中点，则 _ 14已知定义在 R 上的可导函数 f（ x）满足 f（ x） 1，若 f（ 1 m） f（ m） 1 2m，则实数 m 的取值范围是 _ 三、简答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） 15设函数 f（ x） = m （ ）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； 第 3 页（共 18 页） （ ）当 x ， 时，函数 f（ x）的最小值为 2，求函数 f（ x）的最大值及对应的x 的值 16某学校社团招聘工作人员，设置 A、 B 两组测试项目供应聘人员选择，甲、乙、丙、丁四人参加应聘，其中甲、乙、丙三人各自独立参加 A 组测试，已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 ，丙通过测试的概率为 丁参加 B 组测试，已知 B 组共有 6 道试题，丁会做其中的 4 道题丁只能且必须选择 4 道题作答，答对 3 道题则竞聘成功 （ ）求丁应聘成功的概率； （ ）记测试通过的总人数为 ，求 的分布列和期望 17如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 0， 面底面 D=， Q 为 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若直线 平面 成的角为 60， M 是棱 的点 经过 M， B 作平面 ，使直线 并说明理由； 若 PM=面角 M C 的平面角的大小为 30，求 长 18等差数列 首项 ，前三项和为 ，点 n N*）在函数 y= （ ）求数列 通项公式； （ ）若 n，求数列 前 n 项和 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，以原点 O 为圆心， b 为半径的圆与直线 x y+2=0 相切， A、 B 分别是椭圆的左、右顶点， P 为椭圆 C 上的动点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 P 与 A， B 均不重合，直线 斜率分别为 k1值； （ ）设 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，若 =（ 1），求点 M 的轨迹方程 20已知函数 f（ x） =+2a（ a R） （ ）若 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+2y 1=0 垂直，求 a 的值； （ ）若 f（ x） 在 1， +）恒成立，求 a 的取值范围； （ ）若 n N*，证明： n+1） 1+ + + 第 4 页（共 18 页） 2016 年天津市五区县高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1已知 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|2x 1 0，则 AB=（ ） A 2， 1， 0， 1， 2 B 0， 1， 2 C 0， 1 D 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 解出关于集合 B 的不等式，从而求出其和 A 的交集即可 【解答】 解： A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x|2x 1 0=x|x ， 则 AB=1， 2， 故选： D 2设实数 x， y 满足不等式 ，则 z=3x+y 的最大 值为（ ） A 3 B 11 C 15 D不存在 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 9）， 化目标函数 z=3x+y 为 y= 3x+z， 由图可知，当直线 y= 3x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值 3 2+9=15 故选： C 第 5 页（共 18 页） 3阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 13 C 10 D 13 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， S= 1， k=2，满足继续循环的条件； 第二次执行循环体后， S=3， k=3，满足继续循环的条件； 第三次执行循环体后， S= 6， k=4，满足继续循环的条件； 第四次执行循环体后， S=10， k=5，不满足继续循环的条件； 故选： A 4 L 一个几何体的三视图如图所示（单位： m），其正视图、侧视图均有一个角为 60的菱形，俯视图为边长为 1 的 正方形，则该几何体的体积为（ ） A 考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体两个大小相同的正四棱锥的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出该几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体为两个大小相同的正四棱锥的组合体， 第 6 页（共 18 页） 正视图、侧视图均有一个角为 60的菱形，俯视图为边长为 1m 的正方形， 正四棱锥的高是正视图、侧视图中边长为 1m 的正三角形的高 （ m） ， 该几何体的体积 V=2 = （ 故选： C 5设 a R，则 “a 1”是 “|a 2|”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 |a 2|，化为 ，或 ，分别解出即可得出 【解答】 解： |a 2|，化为 ，或 ， 解得 a 2，或 1 a 2，或 a 2 “a 1”是 “|a 2|”的充分不必要条件 故选： A 6如图， O 的半径为 6，线段 O 相交于点 C、 D， O 相交于点 E， ， A，则 ） A 4 B 5 C 6 D 10 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 先判定 据线段成比例求得 取 中点为 F，勾股定理求得 ，可得 的值，再根据 B 减去半径，求得 【解答】 解： D=6， A， = ，即 = ， 取 中点为 F，则 ， ，则 = ， = =12， B 6=6， 第 7 页（共 18 页） 故选： C 7双曲线 =1（ a b 0）的右焦点与抛物线 p 0）的焦点 F 重合，两条曲线在第一象限的交点为 M，若 x 轴，则该双曲线的离心率 e=（ ） A B +1 C D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据抛物线的方程算出其焦点为 F（ ， 0），得到 |p设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的右焦点为 F 算出双曲线的焦距 |=p， 利用勾股定理算出|= p，再由双曲线的定义算出 2a=（ 1） p，利 用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案 【解答】 解：抛物线 焦点为 F（ ， 0）， 由 x 轴垂直，令 x= ，可得 |p， 双曲线 =1 的实半轴为 a，半焦距 c，另一个焦点为 F， 由抛物线 焦点 F 与双曲线的右焦点重合， 即 c= ，可得双曲线的焦距 |=2c=p， 由于 直角三角形，则 |= p， 根据双曲线的定义，得 2a=| | p p， 可得 a= p 因此，该双曲线的离心率 e= = = +1 故选： B 8已知函数 ，若方程 f（ x） =a 有四个不同的解 的取值范围为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1 C（ ， 1） D 1， 1） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 作出函数 f（ x），得到 于 x= 1 对称， ；化简条件，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：作函数 f（ x）的图象如右， 方程 f（ x） =a 有四个不同的解 于 x= 1 对称，即 x1+ 2， 第 8 页（共 18 页） 0 1 则 | 即 则 即 则 ； 当 |1 得 x=2 或 ， 则 1 2； 1； 故 = 2， 1； 则函数 y= 2，在 1 上为减函数， 则故 取得最大值，为 y=1， 当 时，函数值为 1 即函数取值范围是（ 1， 1 故选： B 二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 i 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 a= 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于 0 且虚部不为 0 求得 a 值 【解答】 解： = 是纯虚数， ，解得： a=1 故答案为： 1 10已知（ 2x ） 7 的展开式中含 的项的系数是 84，则实数 a= 1 【考点】 二项式系数的性质 第 9 页（共 18 页） 【分析】 = （ 2x） 7 r =（ a） r 2r，令 7 2r= 3，解得 r=5即可得出 【解答】 解： = （ 2x） 7 r =（ a） r 2r， 令 7 2r= 3，解得 r=5 =84， 解得 a= 1 故答案为： 1 11任取 x， y 0， 1，则点（ x， y）落在抛物线 y2=x 和 x2=y 围成的封闭区域内的 概率为 【考点】 几何概型 【分析】 根据几何概型的概率公式结合积分的应用求出对应区域的面积，进行求解即可得到结论 【解答】 解：由 y2=x 得 y= ，（ y 0） 由 y2=x 和 x2=y 得交点 B（ 1， 1）， 则阴影部分的面积 S= （ x | = = ， 故答案为： ， 12 在等腰 ，已知 ， 20，若点 P 是 上的动点，点 E 满足=3 ，则 的最大值和最小值之差是 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意可得 = = 8， = ， 0 1，计算 =（ ） （ + ）为 4 ， 0 1，从而求得它的最大值和最小值，从而得出结论 【解 答】 解： 三角形 ， C， ， 20， ， 0， 第 10 页（共 18 页） = = 8 =3 ， = ， = ， 0 1， =（ ） （ + ） = + + +3 = 8+12+ （ 8） =4 ， 0 1， 故当 =0 时， 取得最小值为 ，当 =1 时， 取得最大值为 ， 故则 的最大值和最小值之差是 + =4， 故答案为： 4 13在 ，若 A= ， ， ， D 是 中点，则 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 由 B 的范围和平方关系求出 值，由内角和定理的两角和的正弦公式求出 正弦定理求出 得 由余弦定理求出 长 【解答】 解：如图所示： 0 B ， ， = ， 又 A= ， A+B+ ， B+A） = + = ， 在三角形 ，由正弦定理得 ， 则 = =6， D 是 中点， D=3， 第 11 页（共 18 页） 在 ，由余弦定理得 2C9+20 2 =5， 则 ， 故答案为： 14已知定义在 R 上的可导函数 f（ x）满足 f（ x） 1，若 f（ 1 m） f（ m） 1 2m，则实数 m 的取值范围是 （ ， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系 【分析】 根据导数的定义，将不等式进行转化，构造函数 g（ x） =f（ x） x，利用导数的研究函数的单调性，进行求解即可 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） x，则 g（ x） =f（ x） 1， f（ x）满足 f（ x） 1， g（ x） =f（ x） 1 0， 即函数 g（ x）在定义域上为减函数， 若 f（ 1 m） f（ m） 1 2m， 则 f（ 1 m） f（ m） （ 1 m） m， 即 f（ 1 m）（ 1 m） f（ m） m， 即 g（ 1 m） g（ m）， 则 1 m m，得 m ， 故实数 m 的取值范围是（ ， +）， 故答案为：（ ， +） 三、简答题：（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15设函数 f（ x） = m （ ）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； （ ）当 x ， 时，函数 f（ x）的最小值为 2，求函数 f（ x）的最大值及对应的x 的值 【考点】 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值 【分析】 （ ）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性求得函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间 （ ）当 x ， 时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数 f（ x）的最大值及对应的 x 的值 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解：（ ）由于函数 f（ x） = m= +m =2x+ ） +m+ ， 最小正周期为 = 由 2 2x+ 2得： x ， 故函数 f（ x）的单调增区间为 ， ， k Z （ ）当 x ， 时， 2x+ ，函数 f（ x）的最小值为 2，求函数 f（ x）的最大值及对应的 x 的值， 2x+ ） 1， 故当 2x+ ） = 时，原函数取最小值 2，即 +m+ =2， m=2， 故 f（ x） =2x+ ） + ， 故当 2x+ ） =1 时， f（ x）取得最大值为 ，此时， 2x+ = ， x= 16某学校社团招聘工作人员，设置 A、 B 两组测试项目供应聘人员选择，甲、乙、丙、丁四人参加应聘，其中甲、乙、丙三人各自独立参加 A 组测试，已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 ，丙通过测试的概率为 丁参加 B 组测试，已知 B 组共有 6 道试题，丁会做其中的 4 道题丁只能且必须选择 4 道题作答，答对 3 道题则竞聘成功 （ ）求丁应聘成功的概率； （ ）记测试通过的总人数为 ，求 的分布列和期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ I）设事件 C 为丁应聘成功，则由排列组合知识结合等可能事件概率计算公式能求出丁应聘成功的概率 （ 题意 所有可能 的值为 0， 1， 2， 3， 4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和期望 【解答】 （ 16）（本小题满分 13 分） （ I）设事件 C 为丁应聘成功，则 P（ C） = = （ 题意 所有可能的值为 0， 1， 2， 3， 4 P（ =0） =（ 1 ） 2 （ 1 ） 2= ， P（ =1） = = ， 第 13 页（共 18 页） P（ =2） = + = ， P（ =3） = = ， P（ =4） = = ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 所以所求数学期望为 +3 + = 17如图，在四棱锥 P ，底面 直角梯形， 0， 面底面 D=， Q 为 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若直线 平面 成的角为 60， M 是棱 的点 经过 M， B 作平面 ，使直线 并说明理由； 若 PM=面角 M C 的平面角的大小为 30，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出四边形 平行四边形，从而 出 而 平面 此能证明平面 平面 （ 2） 由 平面 而平面 为平面 推导出 平 面 Q 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 【解答】 （本小题满分 13 分） 证明：（ 1） Q 为 中点， 四边形 平行四边形， 0， 0 即 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 面 平面 平面 （ 2） 如图， Q 是 中点，在棱 的任意取一点 M， 因为 面 故 平面 平面 为平面 第 14 页（共 18 页） D， Q 为 中点， 平面 平面 平面 面 D， 平面 直线 平面 成的角为 60， 0， ，故 D=， 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系， 则平面 法向量为 =（ 0， 0， 1）， Q（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0），C（ 1， ， 0） 设 M（ x， y， z），则 =（ x， y， z ）， =（ 1 x， ， z）， ， ，解得 ， 在平面 ， =（ 0， ， 0）， =（ ， ， ）， 平面 向量为 =（ ） 二面角 M C 为 30， = = ， 解得 t=3 A（ 1， 0， 0）， M（ ， ， ）， = 18等差数列 首项 ，前三项和为 ，点 n N*）在函数 y= （ ） 求数列 通项公式； （ ）若 n，求数列 前 n 项和 【考点】 数列与函数的综合；数列的求和 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ ）求出等差数列的首项与通项公式，即可求解数列 通项公式，利用 an， n N*）在函数 y=图象上即可求解 通项公式； （ ）化简 n，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列 前 n 项和 【解答】 解：（ I）等差数列 首项 ，前 三项和为 ， ， 等差数列 首项 ，公差 d=1，故 an=n ， 即数列 通项公式为： an=n ； 点 函数 y=图象上，则 bn=2n 1）， 即数列 通项公式为 bn=2n 1）， （ n=2n 1+2n， 1+3+5+（ 2n 1） +（ 21+22+2n） = + =n+1 2， 数列 前 n 项和 Sn=n+1 2 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，以原点 O 为圆心， b 为半径的圆与直线 x y+2=0 相切， A、 B 分别是椭圆的左、右顶点， P 为椭圆 C 上的动点 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 P 与 A， B 均不重合，直线 斜率分别为 k1值； （ ）设 M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，若 =（ 1），求点 M 的轨迹方程 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分 析】 （ I）圆的方程为 x2+y2=心到直线 x y+2=0 的距离 d= = =b，又 e= ， a2=b2+立解出即可得出 （ A ， B ，设 P（ x， y），代入椭圆方程 可得： ，再利用斜率计算公式即可得出 （ P（ x， y），可设 M（ x， y），其中 x ，根据已知 =（ 1），可得 =2，而：（ y） 2=2 ，代入整理即 可得出 【解答】 解：（ I）圆的方程为 x2+y2= 圆心到直线 x y+2=0 的距离 d= = =b， 又 e= = ， a2=b2+得 a= ， c=1， 第 16 页（共 18 页） 椭圆 C 的方程为： + =1 （ A ， B ，设 P（ x， y），代入椭圆方程可得： ， 由此可得： k1=， k2=， k1= （ P（ x， y），可设 M（ x， y），其中 x ， =（ 1）， =2，而：（ y） 2=2 ， =2，整理得（ 32 1） 2（其中 x ， 1） 20已知函数 f（ x） =+2a（ a R） （ ）若 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+2y 1=0 垂直，求 a 的值； （ ）若 f（ x） 在 1， +）恒成立，求 a 的取 值范围； （ ）若 n N*，证明： n+1） 1+ + + 【考