2016年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集为 R，集合 A=x|x 1，那么集合 于（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 1 2复数 的实部与虚部的和为（ ） A B 1 C D 3如图，设 ， 为互相垂直的单位向量，则向量 可表示为（ ） A 2 B 3 2 C 2 D 2 4已知 a 0， 0 b 1，则下列结论正确的是（ ） A a a 某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生校本课程的学分，统计如下表， 别表示甲，乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差，则（ ） 甲 8 11 14 15 22 乙 6 7 10 23 24 A s1= 小不能确定 6一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 第 2 页（共 22 页） 7已知函数 f（ x） = x3+ 是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A 3， +） B（ ， C ， +） D（ ， 8直线 y=k（ x+1）（ k R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 2， 2 B（ ， 2 2， +） C ， D（ ， ， +） 9执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（ ） A B 5 C D 4 10若 x （ e 1， 1）， a=b= ， c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B b c a C a b c D b a c 11已知正项等比数列 足： a7=存在两项 得 =4 +的最小值为（ ） A B C D 12抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， l 于点 M，线段 抛物线 C 交于点 N，若 斜率为 ，则 =（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，则此双曲线的离心率为 _ 14已知数列 公差为 3 的等差数列，且 等比数列，则 _ 第 3 页（共 22 页） 15已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ，则该球的表面积为 _ 16已知 a 0 且 a 1， f（ x） = x （ 1， 1），均有 f（ x） ，则实数 a 取值范围是 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 （ ）求角 B 的值； （ ）设函数 f（ x） = f（ A）的取值范围 18某单位利用周末时间组织员工进行一次 “健康之路，携手共筑 ”徒步走健身活动，有 n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为 25， 30）， 30， 35， 35， 40）， 40， 45）， 45，50）， 50， 55六组，其频率分布直方图如图所示已知 35， 40）岁年龄段中的参 加者有 8人 （ 1）求 n 的值并补全频率分布直方图； （ 2）从 30， 40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取 5 人作为活动的组织者，其中选取 2人作为领队，在选取的 2 名领队中至少有 1 人的年龄在 35， 40）内的概率 19如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 D 为 中点，B=2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱锥 B 体积 第 4 页（共 22 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 4+2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P， Q 两点，满足直线 斜率依次成等比数列，求 积的取值范围 21已知 函数 f（ x） =（ a 0） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线（ 1 e） x y+1=0 平行，求 a 的值； （ 2）若不等式 f（ x） a 对于 x 0 的一切值恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 是 外接圆， C， 上的高， O 的直径 （ 1）求证： C=E； （ 2） 过点 C 作 O 的切线交 延长线于点 F，若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），圆 C 的方程是 x2+2x 4y=0，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 l 与圆 C 的极坐标方程； （ 2）设直线 l 与圆 C 的两个交点为 M， N，求 M， N 两点的极坐标（ 0， 0 2），以及 面积 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x a|+5x，其中 a 0 （ ）当 a=5 时，求不等式 f（ x） 5x+1 的解集； （ ）若不等式 f（ x） 0 的解集为 x|x 1，求 a 的值 第 5 页（共 22 页） 2016 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知全集为 R，集合 A=x|x 1，那么集合 于（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x|x 1 D x|x 1 【考点】 补集 及其运算 【分析】 根据全集 R 及 A，求出 A 的补集即可 【解答】 解： 全集为 R，集合 A=x|x 1， x|x 1 故选： C 2复数 的实部与虚部的和为（ ） A B 1 C D 【考点】 复数代数 形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案 【解答】 解：由 = ， 得复数 的实部与虚部分别为 ， 1， 数 的实部与虚部的和为 故选： D 3如图，设 ， 为互相垂直的单位向量，则向量 可表示为（ ） A 2 B 3 2 C 2 D 2 第 6 页（共 22 页） 【考点 】 向量的三角形法则 【分析】 以 ， 为互相垂直的单位向量所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，建立直角坐标系，求出向量 的终点坐标以及 的终点坐标，可得向量 的坐标，从而得到答案 【解答】 解 ：以 ， 为互相垂直的单位向量所在的直线分别为 x 轴和 y 轴，建立直角坐标系， 则向量 的终点坐标为（ 3， 1）， 的终点坐标为（ 2， 1），故向量 可表示为：（ 3，1）（ 2， 1） =（ 1， 2） = 2 ， 故选 D 4已知 a 0， 0 b 1，则下列结论正确的是（ ） A a a 考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案 【解答】 解： a 0， 0 b 1， a A 错误； 1， a B 错误； 0， C 正确， D 错误； 故选： C 5某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了 5 名学生校本课程的学分，统计如下表， 别表示甲，乙两班抽取的 5 名学生学分的标准差，则（ ） 甲 8 11 14 15 22 乙 6 7 10 23 24 A s1= 小不能确定 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可得出结论 【解答】 解：根据表中数据，计算甲班的平均数为 = （ 8+11+14+15+22） =14， 乙班的平均数为 = （ 6+7+10+23+24） =14； 甲班的方差为 = （ 8 14） 2+（ 11 14） 2+（ 14 14） 2+（ 15 14） 2+（ 22 14） 2= ， 乙班的方差为 = （ 6 14） 2+（ 7 14） 2+（ 10 14） 2+（ 23 14） 2+（ 24 14） 2= ， ， 第 7 页（共 22 页） 标准差为 故选： B 6一个几何体的三视图如图， 则该几何体的体积为（ ） A 12 B 6 C 4 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为半圆柱，根据三视图判断半圆柱的高与底面半径，把数据代入半圆柱的体积公式计算 【解答】 解：由三视图知：几何体为半圆柱，且半圆柱的高为 3，底面半径为 2， 几何体的体积 V= 22 3=6 故选： B 7已知函数 f（ x） = x3+ 是 R 上的单调递减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A 3， +） B（ ， C ， +） D（ ， 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求出 f（ x），由题意 f（ x） 0 在 R 上恒成立，利用二次函数的性质求出 a 的取值范围即可得到满足题意的 a 范围 【解答】 解： f（ x） = x3+， f（ x） = 3x a，由题意 f（ x） 0 在 R 上恒成立， 0，即 4 4 3a 0， 解得： a ， 实数 a 的取值范围为 ， +）， 故答案选： C 8直线 y=k（ x+1）（ k R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 2， 2 B（ ， 2 2， +） C ， D（ ， ， +） 第 8 页（共 22 页） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域， k 表示过定点（ 1， 0）的直线 y=k（ x+1）的斜率，数形结合可得 【解答】 解：作出不等式组 所对应的可行域（如图 k 表示过定点（ 1， 0）的直线 y=k（ x+1）的斜率， 数形结合可得当直线经过点 A（ 0， 2）时，直线的斜率取最大值 2， 当直线经过点 B（ 0， 2）时，直线的斜率取最小值 2， 故选： A 9执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（ ） A B 5 C D 4 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：当 n=1 时，满足执行循环的条件，故 a= ， n=2， 当 n=2 时，满足执行循环的条件，故 a=5， n=3， 第 9 页（共 22 页） 当 n=3 时，满足执行循环的条件，故 a= ， n=4， 当 n=4 时，满足执行循环的条件，故 a= ， n=5， 当 n=2015 时，满足执行循环的条件，故 a=5， n=2016， 当 n=2016 时，满足执行循环的条件，故 a= ， n=2017 当 n=2017 时，不满足执行循环的条件， 故输出的 a 值为 ， 故选： C 10若 x （ e 1， 1）， a=b= ， c= a， b， c 的大小关系为（ ） A c b a B b c a C a b c D b a c 【考点】 有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比 较 【分析】 依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得 a 0， b 1， c 1，从而可得答案 【解答】 解： x （ e 1， 1）， a= a （ 1， 0），即 a 0； 又 y= 为减函数， b= = =1，即 b 1； 又 c=x （ e 1， 1）， b c a 故选 B 11已知正项等比数列 足： a7=存在两项 得 =4 +的最小值为（ ） A B C D 【考点】 数列的应用 【分析】 设 公比为 q（ q 0），由等比数列的通项公式化简 a7=出 q，代入6简得 m， n 的关系式，由 “1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由 m、 n 的值求出式子的最小值 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q，且 q 0， 由 a7=： ， 化简得， q 2=0， 解得 q=2 或 q= 1（舍去）， 第 10 页（共 22 页） 因为 6（ 1）（ 1） =16 则 qm+n 2=16，解得 m+n=6， + = （ m+n） （ + ） = （ 17+ + ） （ 17+2 ） = ， 当且仅当 = ，解得： m= ， n= ， 因为 m n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到， + ， 验证可得，当 m=1、 n=5 时，取最小值为 故答案选： B 12抛物线 C： x 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线 C 上一点，且 P 在第一象限， l 于点 M，线段 抛物线 C 交于点 N，若 斜率为 ，则 =（ ） A B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | |于是 =，则 ，利用二倍角公式求出 出方程解出 【解答】 解：过 N 作 l 的垂线，垂足为 Q，则 | 设 =，则 ， | 2 ， ， 1 = ，解得 2=10即 故选： B 第 11 页（共 22 页） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x，则此双曲线的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的渐近线方程，进而可知 a 和 b 的关 系，利用 c= 进而求得 a和 c 的关系式，则双曲线的离心率可得 【解答】 解： 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y= x， = ，即 b= c= = a e= = 故答案为： ； 14已知数列 公差为 3 的等差数列，且 等比数列，则 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知，利用等比数列的性质列式求得首项，代入等差数列的通项公式得答案 【解答】 解：在等 差数列 ， d=3，且 等比数列， ，即 ， 解得： 第 12 页（共 22 页） 故答案为： 15已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为 2 ， 则该球的表面积为 25 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 正四棱锥 P 外接球的球心在它的高 ，求出球的半径，求出球的表面积 【解答】 解：如图，正四棱锥 P ， 正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 在的直线上，延长 球面于一点F，连接 由球的性质可知 直角三角形且 据平面几何中的射影定理可得F 因为 ， 所以侧棱长 =2 ， R， 所以 20=2R 4，所以 R= ， 所以 S=45 故答案为： 25 16已知 a 0 且 a 1， f（ x） = x （ 1， 1），均有 f（ x） ，则实数 a 取值范围是 ， 1） （ 1， 2 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 化简不等式 f（ x） 为 造函数 h（ x） =， g（ x） =据图象建立不等式组，求解不等式组即可得到 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x） = 第 13 页（共 22 页） f（ x） 可化为 ， 即 令 h（ x） =， g（ x） = 则如图，当 x （ 1， 1），不等式 f（ x） 等价于 h（ x） =恒在 g（ x） =方， 即 g（ 1） h（ 1），且 g（ 1） h（ 1） 解得 ，又 a 0 且 a 1， 即实数 a 取值范围是 ， 1） （ 1， 2 故答案为： ， 1） （ 1， 2 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知锐角 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 （ ）求角 B 的值； （ ）设函数 f（ x） = f（ A）的取值范围 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理 【分析】 （ ）由等差数列及正弦定理，得到 B （ ）化简 f（ x），由 B 的值，得到 A 的取值范围，由此得到 f（ A）的范围 【解答】 解：（ I） 等差数列， 2 第 14 页（共 22 页） 在 ，由正弦定理 a=2b=2c=2R 为 接圆的半径， 可得： 2 2A+C）， 又 A+C= B， 2 B） = ， 0， ， （ = ， ， ，又 ， ， ， ， ， 故 f（ A）的取值范围为 18某单位利用周末时间组织员工进行一次 “健康之路，携手共筑 ”徒步走健身活动，有 n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为 25， 30）， 30， 35， 35， 40）， 40， 45）， 45，50）， 50， 55六组，其频率分布直方图如图所示已知 35， 40）岁年龄段中的参加者有 8人 （ 1）求 n 的值并补全频率分布直方图； （ 2）从 30， 40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取 5 人作为活动的组织者，其中选 取 2人作为领队，在选取的 2 名领队中至少有 1 人的年龄在 35， 40）内的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 第 15 页（共 22 页） 【分析】 （ I）先求出年龄在 35， 40）之间的频率，从而求出 n，进而得到第二组的频率及矩形高，由此能作出频率分布直方图 （ 已知得 30， 35）之间的人数为 12， 35， 40）之间的人数为 8，从而采用分层抽样抽取 5 人，其中 30， 35）内有 3 人， 35， 40）内有 2 人，由此利用列举法能求出选取的 2名领队 中至少有 1 人的年龄在 35， 40）内的概率 【解答】 解：（ I）年龄在 35， 40）之间的频率为 5= ， 第二组的频率为： 1（ 5= 矩形高为 所以频率分布直方图如右图所示 （ （ I）知， 30， 35）之间的人数为 5 40=12，又 35， 40）之间的人数为 8， 因为 30， 35）之间的人数与 35， 40）之间的人数的比值为 12： 8=3： 2， 所以采用分层抽样抽取 5 人，其中 30， 35）内有 3 人， 35， 40）内有 2 人 记年龄在 30， 35）岁的 3 人分别为 记年龄在 35， 40）岁的 2 人为 选取 2 名领队的情况有 10 种： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中至少有 1 人的 年龄在 35， 40）内的情况有 7 种： （ （ （ （ （ （ （ 选取的 2 名领队中至少有 1 人的年龄在 35， 40）内的概率为 19如图，在三棱柱 ，侧棱 底面 D 为 中点，B=2， （ 1）求证： 平面 （ 2）求四棱 锥 B 体积 第 16 页（共 22 页） 【考点】 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 （ 1）欲证 平面 据线面平行的判定定理可知只需证 平面 接 交于点 O，连接 据中位线定理可知 面 面 足定理所需条件； （ 2）根据面面垂直的判定定理可知平面 平面 足为 E，则平面 后求出 棱长，最后根据四棱锥 B 体积求出四棱锥 B 体积即可 【解答】 解： （ 1）证明：连接 交于点 O，连接 四边形 平行四边形， 点 O 为 中点 D 为 中点， 中位线， 平面 面 平面 （ 2） 平面 面 平面 平面 平面 面 C 作 足为 E，则 平面 ， ， 在 ， ， ， 四棱锥 B 体积 =3 四棱锥 B 体积为 3 第 17 页（共 22 页） 20已 知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 4+2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P， Q 两点，满足直线 斜率依次成等比数列，求 积的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设椭圆的半焦距为 c，由已知得 ，又 ， a2=b2+立解出即可得出 （ 2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为 y=kx+m（ m 0）， P（ Q（ 与椭圆方程联立消去 y 得（ 1+4（ 1） =0， 0，即 4 0由直线 斜率依次成等比数列，可得 =得 k利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设椭圆的半焦距为 c，由已知得 ， 又 ， a2=b2+ 解得 ， 椭圆 C 的标准方程为 （ 2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0， 故可设 直线 l 的方程为 y=kx+m（ m 0）， P（ Q（ 由 ，消去 y 得（ 1+4（ 1） =0， 则 =6416（ 1+4 1） =16（ 4） 0，即 4 0， 第 18 页（共 22 页） 且 ， ， 故 直线 斜 率依次成等比数列， 即 ，又 m 0， ，即 ， 又 4 0， 0 2，由于直线 斜率存在， 1 故= 令 t= 0 t 2，且 t 1，记 f（ t） =t（ 2 t） = t， f（ t）的值域为（ 0， 1） 故 积的取值范围为（ 0， 1） 21已知函数 f（ x） =（ a 0） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线（ 1 e） x y+1=0 平行，求 a 的值； （ 2）若不等式 f（ x） a 对于 x 0 的一切值恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）对函数求导， f（ 1） =3 a e，由题意得 3 a e=1 e，即可求 a 的值； （ 2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导需要用到两次求导再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性 【解答】 解：（ 1）函数 的定义域为（ 0， +）， ， f（ 1） =3 a e，由题意得 3 a e=1 e， 解得 a=2 （ 2）不等式 f（ x） a 对于 x 0 的一切值恒成立，等价于 a+e 2 0 对于 x 0的一切值恒成立 记 g（ x） =a+e 2 x 0），则 g（ x） = a 令 g（ x） =0，得 x=1，当 x 变化时， g（ x）， g（ x）的变化情况如下表： x （ 0， ） 1 （ 1，+） 第 19 页（共 22 页） g（ x） _ 0 + g（ x） 极小 g（ x）的最小值为 g（ 1） =a+e 2 1 记 h（ a） =a+e 2 1（ a 0），则 h（ a） =1 1，令 h（ a） =0，得 a=1 当 a 变化时， h（ a）， h（ a）的变化情况如 下表： a 0 （ 0， 1） 1 （ 1， +） h（ a） + 0 h（ a） 极大值 e 2 当 0 a 1 时，函数 h（ a）在（ 0， 1）上为增函数，即 g（ x）在（ 0， +）上的最小值 h（ a） 0，满足题意 当 1 a 2 时，函数 h（ a）在 1， 2上为减函数， h（ a） h（ 2） =0，即 g（ x）在（ 0， +）上的最小值 h（ a） 0，满足题意 当 a 2 时，函数 h（ a）在（ 2， +）上为减函数， h（ a） h（ 2） =0，即 g（ x）在（ 0， +）上的最小值 h（ a） 0，不满足题意 综上，所求实数 a 的取值范围为 0， 2 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 是 外接圆， C， 上的高， O 的直径 （ 1）求证： C=E； （ 2）过点 C 作 O 的切线交 延长线于点 F，若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）首先连接 圆周角定理可得 C= E，又由 高， 外接圆的直径，可得 0，则可证得 后由相似三角形的对应边成比例，即可证得 B=E； （ ）证明 可求 长 【解答】 （ ）证明：连接 高， 外接圆的直径， 0， C= E， D： 第 20 页（共 22 页） B=E， 又 C 故 C=E （ ）解： O 的切线， A又 ， ，从而解得 ， F 选