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第三章一阶微分方程的解的存在定理,问题的提出：前一章中，介绍了能用初等积分法求解的一阶微分方程的几种类型，但同时指出，大量的一阶微分方程是不能应用初等积分法求出其通解的。另一方面，实际问题所需要的往往是满足某种初始条件的解。因此我们把注意力集中在初值问题（也称柯西问题）：的求解上，与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，我们可以采用数值解法，在应用数值解法求解之前必须在理论上解决以下两个基本问题：,需解决的问题,3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法,一存在唯一性定理,1定理1考虑初值问题,证明思路,(2)构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?,注,命题2,证明:(用数学归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,一存在唯一性定理,1定理1考虑初值问题,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,2存在唯一性定理的说明,3一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,三近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,注:上式可用数学归纳法证明,则,解,由于,由(3.19),
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