高三数学高考二轮复习课件9：导数及其应用

1.了解导数的实际背景,理解导数的几何意义,熟记导数基本公式,掌握导数基本运算.2.能利用导数确定函数单调性,求单调区间,求函数的极值和最值.3.能利用导数解决实际问题.,学案9导数及其应用,1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)解析f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2.,D,2.设ab,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是（）解析y=(x-a)(3x-2b-a),由y=0,得x=a或当x=a时，y取极大值0，当时,y取极小值且极小值为负.或当xb时,y0,当xb时，y0.,C,3.(2009江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为()A.4B.C.2D.解析由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x,所以f(1)=g(1)+21=4.,A,4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f(x),f(0)0,对于任意实数x,都有f(x)0,则的最小值为()A.3B.C.2D.解析因为f(x)=2ax+b,依题意,有可得c0,C,题型一曲线的切线与函数的单调区间问题【例1】(2009全国)已知函数f(x)=x4-3x2+6.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程.,解(1)f(x)=4x3-6x=4x(x+)(x-)当x(-,)和x(0,)时,f(x)0;当x(,0)和x(,+)时,f(x)0.因此,f(x)在区间(-,)和(0,)上是减函数,f(x)在区间(,0)和(,+)上是增函数.,(2)设点P的坐标为(x0,f(x0),由l过原点知，l的方程为y=f(x0)x，因此f(x0)=x0f(x0)，因此切线l的方程为,【探究拓展】一般地,涉及到函数的单调区间及求曲线在某点处的切线问题,往往借助于导数这一重要工具求解,通过判断导函数的符号,确定函数的单调区间,通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在此点处切线的斜率，进而求出切线方程.,变式训练1(2009安徽)已知函数f(x)=x-+a(2-lnx),a0,讨论f(x)的单调性.解f(x)的定义域是(0,+),设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式=a2-8.当=a2-80,即0a时，对一切x0都有f(x)0,此时f(x)在(0,+)上是增函数.当=a2-8=0,即a=时，仅对x=有f(x)=0，对其余的x0都有f(x)0，此时f(x)在(0,+)上也是增函数.,当=a2-80,即a时，方程g(x)=0有两个不同的实根此时f(x）在(0,)上单调递增，在()上单调递减，在(,+)上单调递增.,题型二函数的极值与最值问题【例2】(2009山东)已知函数f(x)=ax3+bx2+x+3,其中a0.(1)当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值？(2)已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围.解(1)由已知得f(x)=ax2+2bx+1,令f(x)=0,得ax2+2bx+1=0,f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解，所以=4b2-4a0,即b2a,此时方程ax2+2bx+1=0的根为,所以f(x)=a(x-x1)(x-x2).当a0时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.,当a0时，f(x),f(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上，当a,b满足b2a时，f(x)取得极值.,(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立.,【探究拓展】求解函数的极值与最值问题常常利用求导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是:(1)分析得出函数的定义域；(2)判断函数是否可导，如可导，则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用函数性质求解；(3)如果一个函数在开区间内只有一个极值点，那么它也是相应的最值点.,变式训练2设关于x的方程2x2-ax-2=0的两根分别为(1)证明:f(x)在区间上是增函数；(2)当a为何值时,f(x)在区间上的最大值与最小值之差最小.(1)证明由方程2x2-ax-2=0的两根分别为知x时,2x2-ax-20,所以此时f(x)0,所以f(x)在区间上是增函数.,(2)解由(1)知在上,f(x)是增函数.则f(x)在区间的最小值为最大值为所以当a=0时,f(x)在区间上的最大值与最小值之差最小，最小值为4.,题型三导数与不等式【例3】设函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a、bR.(1)当a=时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x=0处有极值,求a的取值范围；(3)若对于任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立,求b的取值范围.,解(1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).f(x)=x(4x2-10 x+4)=2x(2x-1)(x-2).令f(x)=0,解得x1=0,x2=,x3=2.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(0,),(2，+）内是增函数，在（-,0),(,2)内是减函数.,（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处有极值,必须有4x2+3ax+40恒成立，即有=9a2-640.解此不等式，得这时，f(0)=b是唯一极值.因此满足条件的a的取值范围是.,(3)由条件a-2,2可知=9a2-640,从而4x2+3ax+40恒成立.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.因此函数f(x)在-1,1上的最大值是f(1)与f(-1)两者中的较大者.为使对任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立，当且仅当所以b-4,因此满足条件的b的取值范围是（-，-4.,【探究拓展】本小题主要考查了函数的单调性、导数、极大(小)值及不等式恒成立问题,在解答这类问题时,要注意利用导函数的符号判断单调性,切记,导函数的偶次重根不是极值点，解答不等式恒成立问题,往往涉及函数的单调性，一定要判断出函数在所给区间上的单调性，利用函数的单调性解题,能大大简化解题过程，使解答变得简单明了.,变式训练3已知函数(c0且c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点.其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M-m1时k的取值范围.,解(1)由题意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0.(*)c0,k0.由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0，由韦达定理知另一个极值点为x=1(2)由(*)式得当c1时,k0;当0c1时,k-2.当k0时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数，在(-c,1)内是增函数，,当k-2时，f(x)在(-,-c)和(1,+)内是增函数,在(-c,1)内是减函数，综上可知,所求k的取值范围为(-,-2),+).,【例4】(2009江苏)设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)1,求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)=f(x),x(a,+),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.解(1)若f(0)1,则-a|a|1,(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|()当a0时,f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此时g(a)=-2a2.()当a0时，若xa,则由知f(x)若xa,由x+a2a0,由知f(x)2a2此时g(a)=综上，,【探究拓展】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.,变式训练4已知函数f(x)=x2-alnx在(1,2上是增函数,g(x)=x-在(0,1)上是减函数.(1)求f(x)、g(x)的表达式；(2)求证:当x0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解；(3)当b-1时,f(x)2bx-在x(0,1内恒成立,求b的取值范围.,(1)解f(x)=2x-，依题意f(x)0,x(1,2,即a2x2,x(1,2.上式恒成立，a2.又g(x)=1-,依题意g(x)0,x(0,1),即a,x(0,1).上式恒成立，a2.由得a=2.f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-,(2)证明由(1)可知,方程f(x)=g(x)+2,令h(x)0,并由x0，令h(x)0,由x0,解得0x1.列表分析：,知h(x)在x=1处有一个最小值0,当x0且x1时,h(x)0，h(x)=0在(0,+)上只有一个解.即当x0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.(3)解所以b的取值范围为-1b1.,【考题再现】(2009海南)已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(1)若a=b=-3,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在上单调递增,在上单调递减,证明:【解题示范】(1)解当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x，所以f(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x.2分当x-3或0x3时,f(x)0；,当-3x0或x3时,f(x)0.3分从而f(x)在(-,-3),(0,3)上单调递增，在(-3,0),(3,+)上单调递减.4分(2)证明f(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a.由条件得:f(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a,6分从而f(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a.,将右边展开，与左边比较系数得，,1.导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在某点处切线的斜率.2.对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的单调性并进而确定单调区间,在求函数式中某些参变量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号.3.对于可导函数,在利用导数求函数极值时,要注意极值点处导函数为零,而导函数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3,因为f(x)=3x2,所以f(0)=0,而在x=0的左右两侧f(x)=3x20，则原函数递增，所以x=0不是原函数极值点;所,以f(x)=(x-1)2，则f(1)=0，而在x=1的左右两侧f(x)=(x-1)20，则原函数递增,所以x=1不是原函数的极值点.由此可知导函数的偶次重根不是原函数的极值点.导函数为零是函数取到极值的必要不充分条件.特别地，函数不可导点(如尖点)也可能是极值点.,一、选择题1.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是则点P横坐标的取值范围为()A.B.-1,0C.0,1D.解析y=x2+2x+3，y=2x+2.曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是曲线在点P处的切线斜率0k1.02x0+21,-1x0.,A,2.(2008全国)设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于()A.2B.C.D.-2解析曲线在点(3,2)处的切线斜率为k=y|x=3=.由题意知ax+y+1=0的斜率为k=2,a=-2.,D,3.若函数则f(x)在点(0,f(0)处切线的倾斜角为()A.B.C.D.解析由题意可知f(x)=x2+f(1)x-f(2),令x=0,得f(0)=-f(2),令x=1,得f(2)=1,所以f(0)=-1，,D,4.(2008湖北)若f(x)=x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减函数,则b的取值范围是()A.-1,+)B.(-1,+)C.(-,-1D.(-,-1)解析由题意知即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0.1+b0,b-1.,C,5.(2009安徽)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3解析由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4,f(x)=x2，f(x)=2x,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,A,6.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,且|x1|x2|,则有()A.a0,b0,c0,d0B.a0,b0,c0,d0C.a0,b0,c0,d0D.a0,b0,c0,d0解析因f(x)=3ax2+2bx+c,由题意可知导函数f(x)的图象如图,所以a0,c0,则b0,由原函数图象可知d0.,C,二、填空题7.若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.解析由题意可知又因为存在垂直于y轴的切线，8.(2008江苏)直线是曲线y=lnx(x0)的一条切线,则实数b=_.解析(lnx)=,令,得x=2,故切点坐标为(2,ln2),将其代入直线方程,得ln2=2+b,所以b=ln2-1.,(-,0),ln2-1,9.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值点，则实数a的取值范围是_.解析a2-10,a1或a-1;又函数f(x)不存在极值点，令f(x)=3ax2-4ax+a+1=0,则=16a2-43a(a+1)=4a(a-3)0,所以0a3,综上可知:1a3.,1a3,10.过点P（1，1）作曲线y=x3的切线，则切线方程为.解析因点P（1，1）在曲线y=x3上.又y=3x2，若点P（1，1）是切点时，因y|x=1=3,所以切线方程为y=3x-2,即3x-y-2=0.若点P（1，1）不是切点时，设切点Q(r,r3)(r1)，所以k=3r2=r2+r+1,即2r2-r-1=0，所以r=-,r=1（舍），kPQ=,所以切线方程为3x-4y+1=0.,3x-y-2=0,3x-4y+1=0,三、解答题11.设M是由满足下列两个条件的函数f(x)构成的集合:定义f(x)-x=0有实根；函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.(1)若判断方程f(x)-x=0的根的个数;(2)判断(1)中的函数f(x)是否为集合M的元素；(3)对于M中的任意函数f(x),设x1是方程f(x)-x=0的实根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2-x1|1,|x3-x1|1时,有