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3.7算符的对易关系共同本征态函数测不准关系,一.量子力学的算符基本对易关系,记，如两算符,满足.称对易,常用的对易关系式,1.坐标算符之间的对易关系,结论：坐标分量算符之间是对易的,2.动量各分量之间的对易关系,同理：,结论：动量各分量之间是对易的,3.坐标与动量算符的对易关系,动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系,设任意态函数,为任意波函数,所以,同理,结论：动量分量和它所对应的坐标是不对易的,动量分量和它不对应的坐标之间的对易关系,所以,同理：,结论：动量分量和它不对应的坐标是对易的,力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其它力学量之间的对易关系,4.与角动量算符有关的对易关系式,（1）坐标与角动量算符的对易式,同理：,结论：角动量分量和它所对应的坐标是对易的,同理,(1)结论：角动量分量和它不对应的坐标是不对易的,同理:,（2）角动量分量之间的对易式,（）,结论：角动量分量之间的不对易,上三式可合写为,该式可看成是角动量算符的定义，它比以前的定义具有更广泛的意义，原来只是轨道角动量，而该式包含有自旋角动量。,（3）有心力场中、的对易关系,而、均与r无关，所以上式第一项和第三项作用在、上就和作用在常数上一样，而第二项中的分别与、对易，因此与、分别对易,综上所述，算符之间或对易、或不对易。那么什么条件下两者对易呢？对易与否具有什么意义呢？,二.两个算符具有共同本征态的条件,1定理:两个具有共同的完备本征函数组的算符必定对易,证,所以,2逆定理:如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。（证略）,3上述定理可推广到两个以上情况。,要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。,从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如h在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。,下面讨论不对易情况,三、不确定关系,1.统计偏差的定义标准差,如果力学量，其相应的算符为，统计平均值为,在任意态观察值对统计平均值的统计偏差（标准差）定义为,令方均根值,其中，,例如：,值越大表明偏差越大,讨论：,（1）若处于本征态，则测量值等于本征值，等于平均值，因此即本征态是统计偏差等于零，既无涨落的状态,（2）.如果两力学量，其相应的算符为，且，统计平均值为,2.不确定关系的严格证明在量子力学中力学量的不确定关系？,证明：,构造态函数对任意态函数，再构造出一个新的任意态函数（其中是实参数），,第2步计算态函数内积,（其中用到了厄米算符定义）,其中，由平均值定义得,第1项,第4项,第2项,（利用）,第2项+第3项等于,第3步讨论的条件,第4步进一步证明,因此将替换（1）式中的得,不等式成立的条件是：（2）,例1：坐标和动量的不确定关系
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