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4.6一元二次方程根与系数的关系,弗朗索瓦韦达（15401603）,国籍：法国职业：数学家主要成就：第一个引进系统的代数符号，使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。发现了方程根与系数之间的关系，即“韦达定理”。,欧洲“代数学之父”,【数学活动】填表，观察、猜想,问题：说一说，你发现方程的两根和、两根积与方程的系数有什么关系？,【数学活动】填表，观察、猜想,问题：说一说，你发现方程的两根和、两根积与方程的系数有什么关系？,2类比探究,问题2方程（x-x1）（x-x2）=0（x1、x2为已知数）的两根是什么？,x2（x1+x2）xx1x2=0,将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？,归纳,如果方程二次项系数不为1呢?,已知：一元二次方程的两个根分别是x1,x2,求证：,推导:,如果一元二次方程的两个根分别是x1,x2，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,例根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2,3运用性质，巩固练习,x1+x2=6,x1x2=-15,x1+x2=,x1x2=-3,x1+x2=,x1x2=,4.完成学案练习,例2:关于x的方程,的一个根是,求它的另一个根和,的值.,变式练习：,已知关于x的方程x2(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解：,设方程的另一个根为x1.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数关系，得2x13k，,即2x16,x13,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,求方程中的待定系数,解法二：,设方程的另一个根为x1.,由根与系数的关系，得,x12=k+1,2x1=3k,解这方程组，得,x1=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2。,典型例题：,【例】已知关于x的方程x2(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,求方程中的待定系数,设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由
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