2.2.3等差数列的前n项和 (2)

四川省苍溪县城郊中学校李万才,等差数列的前n项和,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,等差数列的前n项和,1.等差数列的定义：,2.通项公式：,3.重要性质:,复习,高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？,高斯（1777-1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。,高斯“神速求和”的故事:,情景1,首项与末项的和：1100101，,第2项与倒数第2项的和：299=101，,第3项与倒数第3项的和：398101，,第50项与倒数第50项的和：5051101，,于是所求的和是：,求S=1+2+3+100=？,你知道高斯是怎么计算的吗？,高斯算法：,高斯算法用到了等差数列的什么性质？,如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。,即求：S=4+5+6+7+8+9+10.,高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=143+7=49.,还有其它算法吗？,情景2,S=10+9+8+7+6+5+4.,S=4+5+6+7+8+9+10.,相加得：,倒序相加法,怎样求一般等差数列的前n项和呢？,新课,等差数列的前n项和公式,公式1,公式2,结论：知三求二,思考：,(2)在等差数列中，如果已知五个元素中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?,(1)两个求和公式有何异同点？,公式记忆,类比梯形面积公式记忆,互动探究,探究1：与前n项和有关的基本量的运算,在等差数列an中，(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)a11，an512，Sn1022，求d.思路点拨将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法,一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便,1已知等差数列an中，(1)d2，an11，Sn35，求a1和n；(2)a2a519，S540，求a10.,等差数列前n项和公式的函数特征：,特征：,思考：,结论：,探究2：与前n项和有关的最值问题,已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值思路点拨,求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：,2(1)在数列an中，已知an2n49，则Sn取得最小值时，n()A26B25C24D23(2)若等差数列an的前n项和为Sn，且a129,5a8a58，则Sn的最大值为_,答案：(1)C(2)120,随堂练习,1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的sn,(1)a=5,an=95,n=10,(2)a1=100,d=2,n=50,(3)a1=14.5,d=0.7,an=32,2、(1)求正整数列中前n个数的和；(2)求正整数列中前n个偶数的和。,3、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是30？,前15项,1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;,小结,3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.,已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式.,应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出a1和d时，要认