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必修53.4.1基本不等式的证明,一.知识梳理,1.算术平均数、几何平均数,2.基本不等式,基本不等式的证明,对于正数a,b,叫做正数的算数平均数;叫做正数的几何平均数.,(1)前提条件:.,(2)取得等号条件:.,3.不等式证明的方法,(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法.,a,b为正数,a=b,一.知识梳理,4.几个重要不等式,(1),(2),(3),(当且仅当a=b时取=),(当且仅当a=b时取=),(当且仅当a=b时取=),(当且仅当a=1时取=),二.典型例题,例1.,基本不等式的证明,证明:,即,二.典型例题,例2.解法一,基本不等式的证明,证明:方法一.分析法,要证,即证,即证,得证,二.典型例题,例2.解法一,基本不等式的证明,证明:,得证,二.典型例题,例2.解法二,基本不等式的证明,证明:方法二.综合法,(当且仅当x=1时取=),(当且仅当时取=),上面两式相加得,二.典型例题,例3.,基本不等式的证明,证明:,(当且仅当a=b时取=),即,1的代换,二.典型例题变式,例3.变式练习(1),基本不等式的证明,分析:,将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1,则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达到化简的目的.,求证:,二.典型例题变式,例3.变式练习(2),基本不等式的证明,证明:左边=,展开得,左边,求证:,二.典型例题变式,例3.变式练习(3),基本不等式的证明,求证:,(当且仅当a=b时取=),同理,(当且仅当a=b=c时取=),得证,(当且仅当a=b=c时取=),三.小结,1.基本不等式,基本不等式的证明,(1)前提条件:.,(2)取得等号条件:.,2.不等式证明
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