2009年高考全国卷1文科数学试题和答案

. . 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修+ +选修选修） 本试卷分第本试卷分第 I I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 IIII 卷（非选择题）两部分第卷（非选择题）两部分第 I I 卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第 IIII 卷卷 3 3 至至 4 4 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生在答题卡上务必用直径答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号、填写清楚证号、填写清楚 ，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 2每小题选出答案后，用每小题选出答案后，用 2 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 3本卷共本卷共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么球的表面积公式AB， ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么其中表示球的半径AB，R 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么AP 3 4 3 VR 次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径nkR ( )(1)(01,2) kkn k nn P kC PPkn ， 一、选择题一、选择题 （1）的值为sin585 (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2 3 2 3 2 (2)设集合 A=4，5，6，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集=AB，则集合u （A B）中的元素共有 (A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个 （3）不等式的解集为 1 1 1 x x . . （A） （B）011xxx x 01xx （C） （D）10 xx 0 x x （4）已知 tan=4,cot=,则 tan(a+)=a 1 3 (A) (B) (C) (D) 7 11 7 11 7 13 7 13 （5）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ， 2 1yx 的离心率等于 （A） （B）2 （C） （D）356 （6）已知函数的反函数为，则( )f x( ) 10g xx2l gx(1)(1)fg （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 （7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 （8）设非零向量满足，则abc、abc，abcab， （A）150B）120 （C）60 （D）30 （9）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 111 ABCABC 1 AABC 的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为BCAB 1 CC (A) (B) (C) (D) 3 4 5 4 7 4 3 4 (10) 如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为3cos(2)yx 4 (,0) 3 (A) (B) (C) (D) 6 4 3 2 （11）已知二面角为 600 ，动点 P、Q 分别在面内，P 到的距离为，Q , 3 到的距离为，则 P、Q 两点之间距离的最小值为2 3 (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 （12）已知椭圆的右焦点为 F,右准线 ，点，线段 AF 交 C 于点 B。若 2 2 :1 2 x CylAl . . ,则=3FAFB AF (A) (B) 2 (C) (D) 323 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修 选修选修） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 2第第卷共卷共 7 7 页，请用直径页，请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 3本卷共本卷共 1010 小题，共小题，共 9090 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） （13）的展开式中，的系数与的系数之和等于_. 10 ()xy3 37 x y （14）设等差数列的前项和为。若，则_. n an n S 9 72S 249 aaa (15)已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若OAOOAMOAM 圆的面积为，则球的表面积等于_.M3O （16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，m 12 :10:30lxylxy 与 2 2 则的倾斜角可以是m 1530456075 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . (17)(本小题满分 10 分)( (注意注意: :在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效) ) 设等差数列的前项和为，公比是正数的等比数列的前项和为， n an n s n bn n T 已知的通项公式. 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a . . (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效） 在中，内角 A、b、c 的对边长分别为 a、b、c.已知，且ABC 22 2acb ，求 b.sin4cossinBAC (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，SABCDABCDSD ABCD2AD ，点在侧棱上，。 2DCSDMSC ABM =60 证明：是侧棱的中点； MSC 求二面角的大小。 SAMB (20)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 . . （21） （本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数. 42 ( )36f xxx （）讨论的单调性；( )f x （）设点 P 在曲线上，若该曲线在点 P 处的切线 通过坐标原点，求( )yf xl 的方程l (22)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线与圆相交于 A、B、C、D 四 2 :E yx 222 :(4)(0)Mxyrr 个点。 （）求 r 的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 . . 答案答案 一、选择题一、选择题 （1） o 585sin的值为 (A) 2 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 3 2 【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 解： 2 2 45sin)45180sin()225360sin(585sin oooooo ，故选择 A。 (2)设集合 A=4，5，7，9 ，B=3，4，7，8，9 ，全集UAB，则集合 () U AB中的元素共有 (A) 3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D）6 个 【解析】本小题考查集合的运算，基础题。 （同理 1） 解：3,4,5,7,8,9AB ，4,7,9()3,5,8 U ABAB故选故选 A A。也可用摩根。也可用摩根 定律：定律：()()() UUU ABAB （3）不等式1 1 1 x x 的解集为 （A）011xxx x （B）01xx （C） 10 xx （D）0 x x 【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式，基础题。 解：0040)1()1(|1|1|1 1 1 22 xxxxxx x x ， 故选择 D。 （4）已知 tana=4,cot= 1 3 ,则 tan(a+)= (A) 7 11 (B) 7 11 (C) 7 13 (D) 7 13 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。 . . 解：由题3tan ， 11 7 121 34 tantan1 tantan )tan( ，故选择 B。 （5）设双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的渐近线与抛物线 2 1yx 相切，则该双曲线 的离心率等于 （A）3 （B）2 （C）5 （D）6 【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率， 基础题。 解：由题双曲线 22 22 00 xy ab ab 1 ，的一条渐近线方程为 a bx y ，代入抛物线方 程整理得0 2 abxax，因渐近线与抛物线相切，所以04 22 ab，即 55 22 eac，故选择 C。 （6）已知函数( )f x的反函数为( ) 10g xx2l gx，则 )1()1(gf （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 【解析】本小题考查反函数，基础题。 解：由题令1lg21 x得1 x，即1)1( f，又1)1( g，所以2)1()1( gf， 故选择 C。 （7）甲组有 5 名男同学、3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学，若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 （D）345 种 【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。 解：由题共有345 2 6 1 3 1 5 1 2 1 6 2 5 CCCCCC，故选择 D。 （8）设非零向量a、b、c满足cbacba |,|，则 ba, （A）150 （B）120 （C）60 （D）30 【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。 解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点 处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。 . . （9）已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC上的射影为 BC的中点，则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 (A) 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析】本小题考查棱柱的性质、异面直线所成的角，基础题。 （同理 7） 解：设BC的中点为 D，连结 1 AD，AD，易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所成的 角,由三角余弦定理，易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB .故选 D (10) 如果函数3cos(2)yx的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称，那么的最小值为 (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。 解: 函数cos 2yx3的图像关于点 4 3 ，0中心对称 4 2 32 k 13 () 6 kkZ 由此易得 min | 6 .故选 A （11）已知二面角l 为 600 ，动点 P、Q 分别在面, 内，P 到的距离为3，Q 到的距离为2 3，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 【解析】本小题考查二面角、空间里的距离、最值问题，综合题。 （同理 10） 解:如图分别作,QAA AClC PBB于于于 PDlD 于，连,60 ,CQ BDACQPBD 则 2 3,3AQBP，2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP ，即AP点与点重合时取最小值。故答案选 C。 （12）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为 F,右准线l，点Al，线段 AF 交 C 于点 B。若 3FAFB ,则AF = . . (A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3 【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，基础题。 解：过点 B 作BMl于 M,并设右准线l与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意3FAFB ,故 2 | 3 BM . 又由椭圆的第二定义,得 2 22 | 233 BF |2AF.故选 A 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修文科数学（必修选修选修） 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生先在答题卡上用直径答题前，考生先在答题卡上用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目写清楚，然后贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目 2 2第第卷共卷共 7 7 页，请用直径页，请用直径 0.50.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效 3 3本卷共本卷共 1010 小题，共小题，共 9090 分分 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） （13） 10 ()xy的展开式中， 73 x y的系数与 37 x y的系数之和等于_. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 （同理 13） 解: 因 rrrr r yxCT 10 101 )1(所以有 373 101010 ()2240CCC （14）设等差数列 n a的前n项和为 n S。若 9 72S ，则 249 aaa_. 【解析】本小题考查等差数列的性质、前n项和，基础题。 （同理 14） 解: n a是等差数列,由 9 72S ,得 59 9,Sa 5 8a 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa。 . . (15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若 圆M的面积为3，则球O的表面积等于_. 【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。 解：设球半径为R，圆 M 的半径为r，则 3 2 r，即3 2 r由题得3) 2 ( 22 R R， 所以 1644 22 RR。 （16）若直线m被两平行线 12 :10:30lxylxy 与所截得的线段的长为22， 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的 思想。 解：两平行线间的距离为2 11 |13| d，由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30， 1 l的倾斜 角为 o 45，所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 。故填写或 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, ,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. . (17)(本小题满分 10 分)( (注意注意: :在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效) ) 设等差数列 n a的前n项和为 n s，公比是正数的等比数列 n b的前n项和为 n T，已 知 113333 1,3,17,12, nn ababTSb求a的通项公式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题。 解：设 n a的公差为d，数列 n b的公比为0 q， 由 33 17ab得 2 12317dq 33 12TS得 2 4qqd 由及0q 解得2 , 2 dq 故所求的通项公式为 1 12(1)21,3 2n nn annb 。 (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试用题卷上作答无效）（注意：在试用题卷上作答无效） . . 在ABC中，内角ABC、的对边长分别为abc、.已知 22 2acb，且 sin4cossinBAC，求b. 【解析】本小题考查正弦定理、余弦定理。 解：由余弦定理得Abcbcacos2 222 ， 又 0,2 22 bbca， bAbcb2cos2 2 ， 即2cos2 Acb 由正弦定理得 sin sin bB cC 又由已知得 sin4cossinBAC sin 4cos sin B A C ， 所以4 cosbcA 故由解得 4 b (19)(本小题满分 12 分)（注决：在试题卷上作答无效）（注决：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面 ABCD，2AD ，2DCSD，点M在侧棱SC上， 60ABM （）证明：M是侧棱SC的中点； （）求二面角SAMB的大小。 （同理 18） 解法一：解法一： （I） 作MECD交SD于点 E，则MEAB，ME 平面 SAD 连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作MFAB，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设MEx，则SEx， 222 (2)2AEEDADx 2 (2)2,2MFAExFBx . . 由 2 tan60 ,(2)23(2)MFFBxx 。得 解得1x 即1ME ，从而 1 2 MEDC 所以M为侧棱SC的中点 （） 22 2MBBCMC，又60 ,2ABMAB ,所以ABM为等边三角形， 又由（）知 M 为 SC 中点 2,6,2SMSAAM，故 222, 90SASMAMSMA 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则,BGAM GHAM,由此知 BGH为二面角SAMB的平面角 连接BH，在BGH中， 22 31222 3, 2222 BGAMGHSMBHABAH 所以 222 6 cos 23 BGGHBH BGH BG GH 二面角SAMB的大小为 6 arccos() 3 解法二解法二: : 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设( 2,0,0)A，则( 2,2,0),(0,2,0), (0,0,2)BCS （）设(0)SMMC,则 2222 (0,),( 2,) 1111 MMB 又(0,2,0),60ABMB AB 故| |cos60MBABMBAB 即 222 422 ( 2)()() 111 解得1，即SMMC . . 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II） 由(0,1,1), ( 2,0,0)MA，得 AM 的中点 2 1 1 (, ) 22 2 G 又 2 31 (,),(0, 1,1),(2,1,1) 222 GBMSAM 0,0GBAMMSAM 所以,GBAM MSAM 因此,GB MS等于二面角SAMB的平面角 6 cos, 3| | GB MS GB MS GBMS 所以二面角SAMB的大小为 6 arccos() 3 (20)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假 设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （）求甲获得这次比赛胜利的概率。 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综 合题。 解：记“第i局甲获胜”为事件)5 , 4 , 3( iAi， “第j局乙获胜”为事件 (3,4,5) j Bj 。 （）设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A，则 4343 BBAAA ，由于各局比赛结果相互独立，故 34343434 ( )()()()P AP AABBP AAP BB . . 3434 () ()() ()P A P AP B P B 52 . 0 4 . 04 . 06 . 06 . 0 （）记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B，因前两局中，甲、乙各胜 1 局，故甲获 得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从而 54354343 ABAAABAAB ，由于各局比赛结果相互独立，故 )()( 54354343 ABAAABAAPBP 648 . 0 6 . 04 . 06 . 06 . 06 . 04 . 06 . 06 . 0 )()()()()()()()( )()()( 54354343 54354343 APBPAPAPAPBPAPAP ABAPAABPAAP （21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 42 ( )36f xxx. （）讨论( )f x的单调性； （）设点 P 在曲线( )yf x上，若该曲线在点 P 处的切线l通过坐标原点，求l的 方程 【解析】本小题考查导数的应用、函数的单调性，综合题。 解：（） 3 66 ( )464 ()() 22 fxxxx xx 令( )0fx 得0 2 6 x或 2 6 x； 令( )0fx 得 2 6 x或 2 6 0 x 因此， xf在区间) 0 , 2 6 ( 和), 2 6 ( 为增函数；在区间) 2 6 ,( 和 ) 2 6 , 0 (为减函数。 （）设点)(,( 00 xfxP，由l过原点知，l的方程为 0 ()yfx x， 因此 000 ()()f xx fx， . . 即0)64(63 0 3 00 2 0 4 0 xxxxx， 整理得0)2)(1( 2 0 2 0 xx， 解得2 0 x或2 0 x 因此切线l的方程为xy2 或2 2yx (22)（本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于 A、B、C、D 四 个点。 （）求r的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解：解：（）将抛物线 2 :E yx代入圆 222 :(4)(0)Mxyrr的方程，消去 2 y， 整理得 22 7160 xxr E与M有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根 12 xx、 由此得 22 12 2 12 ( 7)4(16)0 70 160 r xx xxr A 解得 2 15 16 4 r 又0r 所以r的取值范围是 15 (,4) 2 （II） 设四个交点的坐标分别为 11 ( ,)A xx、 11 ( ,)B xx、 22