第6章 测量误差的基本知识

.,第六章测量误差的基本知识,6-1测量误差的来源及分类6-2衡量精度的指标6-3误差传播定律（简介）6-4等精度观测的最可靠值与精度评定6-5加权平均值及中误差（自学）,.,6-1测量误差的来源及分类,一、误差(error)定义及表达式观测值li与其真实值X之间的差异。其表达式为：iliX2.观测误差的来源误差来源：观测者、仪器（工具）、外界因素观测条件观测者仪器（工具）外界因素,.,3.等精度观测和不等精度观测以观测条件来评价是否等精度观测。4.对测量误差的准确理解误区：误差越小越好，甚至为零。正确认识：将误差限制在满足测量目的和要求的范围内。5.观测误差的分类（1）粗差(grosserror)g（2）系统误差(systemerror)s（3）偶然误差(accidenterror)a总观测误差：g+s+a,.,二、误差的特性1.粗差（grosserror）特征：1）一种大数量级的观测误差；2）粗差包括测量过程中各种失误引起的误差；3）含有粗差的观测值都不能使用，该观测值必须舍弃并重测。处理方法：1）进行必要的重复观测；2）增加“多余”的观测约束条件；3）严格遵守相关测量规范。,.,2.系统误差（systemerror）特征：在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差。系统误差对观测成果具有累积的作用。处理方法：1）采取必要的观测措施；2）找出系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的公式改正。,.,3.偶然误差（accidenterror）（1）特征：在一定的观测条件下进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号均呈现偶然性；即从表面现象看，误差的大小和符号没有规律性。（2）研究偶然误差的重要性,遵守相关测量规范，粗差可以被发现并剔除；,系统误差可以被改正；,偶然误差却是不可避免的。,.,三、偶然误差的统计规律,.,1.偶然误差的统计规律,.,2.标准差(standarddeviation,),标准差的大小可以反映观测精度的高低。,正态分布曲线,.,6-2衡量精度的指标,一、精度1.定义对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。第1组：1第2组：2,第1组精度高,.,2.等精度观测和不等精度观测由于精度是表征误差的特征，而观测条件又是造成误差的主要来源。因此：相同观测条件等精度观测精度等级相同相同不同观测条件不等精度观测精度等级不同不同在一组等精度观测中，它们都对应着同一个误差分布，即对应着同一个标准差。反之，两组不等精度观测中，由于分别对应着各自的误差分布，二者的标准差也不相等。标准差愈小，观测精度水平愈高。,.,3.衡量精度的常用指标（1）中误差(meansquareerror)（2）相对中误差(relativeerror)（3）极限误差（limiterror,或称限差tolerance）,.,二、中误差m1.计算公式例题（1）对某个量进行两组观测，各组均为等精度观测，各组的真误差分别如下所示，请评定哪组的精度高？第一组：-3、+2、-1、0、+4第二组：+5、-1、0、+1、+2,.,第一组：-3、+2、-1、0、+4第二组：+5、-1、0、+1、+2第一组：第二组：因为：|m1|m2|所以第一组观测精度等级较高,.,2.中误差（m）与标准差（）的区别,在于观测次数n上！标准差表征了一组等精度观测在n时误差分布的扩散特征，即理论上的观测精度指标；而中误差m则是一组等精度观测在n为有限次数时的观测精度指标。,.,3.中误差（m）与真误差（）的区别,中误差m反映的是一组观测精度的整体指标，而真误差i是描述每个观测值误差的个体指标。在一组等精度观测中，各观测值具有相同的中误差m，但各个观测值的真误差往往不等于中误差，且彼此也不一定相等，这是由于真误差具有偶然误差特性的缘故。,.,三、相对误差（K）1.相对误差的意义某些观测值的精度不仅与误差绝对值相关，而且还与观测的工作量有关。这就需要用一个相对值进行精度比较。2.定义误差的绝对值与相应观测值D的比值。3.实际距离丈量中的相对真误差（相对较差）,当为中误差m时，K称为相对中误差,.,4.为什么只有“距离”需要用相对误差K衡量，而“角度”观测则用中误差（绝对误差）而不用相对误差？,距离测量误差与观测长度大小有关。长度越长，需要丈量的次数越多。因此，出现误差的概率也越大。测角误差与角度的大小无关。不管角度大小如何，仪器只是读取两个数值（起始读数、终点读数）,.,四、极限误差（极限）和容许误差（容）1.极限误差的意义绝对值大于3的真误差出现的概率很小，因此可以认为3是真误差实际出现的极限。在等精度观测中，2m概率4.553m概率0.272.极限误差（容许误差）的设定在实际测量中，常以23倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差。即：容2m容3m,.,6-3误差传播定律,一、误差传播定律(lawoferrorpropagation)实际测量中，有些量往往不能直接观测得到，需借助其它的观测量按照一定的函数关系间接计算得到。由于直接观测的量含有误差，因而它的函数亦必然存在误差。各观测量的中误差与其函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律,.,二、主要关系式1.常用关系式,.,2.非线性关系式（通用公式）Zf（x1，x2，xn）按照泰勒级数展开并整理，最终得到函数f（x）中误差mZ的表达式：,.,三、应用讲解例题（3）在12000比例尺的地形图上，量得A、B两点间的距离dAB87.5mm，md0.3mm，求A、B两点间的实地距离DAB及其中误差mD。解：DABMdAB200087.5/1000175.0m根据倍数函数的中误差计算公式，得线段AB的中误差为mDMmd20000.3/10000.6m最后的结果可以写成DAB175.0m0.6m,.,例题（4）对一个三角形三个内角进行观测，已观测、两内角，观测值分别为=7234125.0，5646184.0。求另一个内角的角值及其中误差m。解：根据题意，有180，因此：180503930在的函数式里，180常数，而m5.0，m4.0所以根据和差函数求中误差的公式，有：所以，另一个内角5039306.4,.,例题（5）坐标增量计算公式xDcos，观测值D152.60m0.06m，10630158。求x的中误差mx。解：根据公式，有0.02m,.,6-4等精度观测的最可靠值与精度评定,一、算术平均值(arithmeticaverage)1.定义2.算术平均值是理论值的最或然值、最可靠值（证明在课本pp159）,.,二、观测值改正数(residual)1.定义观测量的最或然值与观测值之差。ixli2.由观测值改正数计算观测值中误差m,实际观测中，测量的理论值（真值）往往是不知道的。此时，可以用上式计算观测活动的中误差m。,.,3.算术平均值x的中误差M这就是数学上著名的白赛尔公式（BesselFormula）,.,4.算术平均值中误差M的讨论（1）算术平均值精度比观测值高倍；（2）增大观测次数，可以提高精度；但次数越多，精度提高幅度越小。,.,例题（6）在等精度观测条件下，对某段距离丈量3次，结果分别为56.536m，56