20.4课题学习最短路径问题.ppt

人教版八年级上册,20.4课题学习最短路径问题北林区西长发中学孙丽影,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,创设情境引入课题,追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线,自主探究合作交流构建新知,（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,探索新知,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）,追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？,探索新知,问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？,探索新知,问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,作法：（1）作点B关于直线l的对称点B；（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,探索新知,问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,证明：在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小,探索新知,追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C（与点C不重合），证明AC+BCAC+BC？这里的“C”的作用是什么？,探索新知,追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,运用新知,练习如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径,运用新知,基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,思维分析,1、如图假定任选位置造桥，连接和，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了.怎样调整呢？,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,理由；另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此AM+MN+BN,问题延伸一,如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，使A1A2=PQ.（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.,连接A1P交的对岸于点，在点处建桥,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、，使，；连接交于点相邻河岸于点，建桥；连接交的对岸于点，建桥；从点到点的最短路径为MMN,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BBMN；连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ；从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B,问题延伸二,如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2,使BB1GH，B1B2=PQ；连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1,使BB1GH；连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；此时从A到B点路径最短.,问题解决,巩固新知,同样，