2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

.2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）1.（2019江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”. （1）已知等比数列an满足：，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足: ，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn ，对任意正整数k ， 当km时，都有成立，求m的最大值【答案】 （1）解：设等比数列an的公比为q ， 所以a10，q0. 由 a2a4=a5a3-4a2+4a1=0 ，得 a12q4=a1q4a1q2-4a1q+4a1=0 ，解得 a1=1q=2 因此数列 an 为“M数列”.（2）解：因为 1Sn=2bn-2bn+1 ，所以 由 b1=1,S1=b1 得 11=21-2b2 ，则 b2=2 .由 1Sn=2bn-2bn+1 ，得 Sn=bnbn+12(bn+1-bn) ，当 n鈮?mbrimbri2 时，由 bn=Sn-Sn-1 ，得 bn=bnbn+12(bn+1-bn)-bn-1bn2(bn-bn-1) ，整理得 bn+1+bn-1=2bn 所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n .由知，bk=k ， k鈭?mbrimbriN* .因为数列cn为“M数列”，设公比为q ， 所以c1=1，q0.因为ckbkck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有 设f（x）= lnxx(x1) ，则 令 ，得x=e.列表如下：x(1,e) e(e，+) +0 f（x）极大值因为 ln22=ln860，因为ckbkck+1 ， 所以 ，其中k=1，2，3，m ， 再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。2.（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合 （1）若，求集合S； （2）若，求d使得集合S恰好有两个元素； （3）若集合S恰好有三个元素：，T是不超过7的正整数，求 T的所有可能的值 【答案】 （1）解： 等差数列 an 的公差 ，数列 bn 满足 bn=sin(an) ，集合 当 ，集合 S=-32,0,32 （2）解： a1=蟺2 ，数列 bn 满足 bn=sin(an) ，集合 恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，等差数列 an 的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S 恰好有两个元素，此时 d=蟺 ， a1 终边落在 OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a2 ， a3 的终边关于 y 轴对称，如图 OB ， OC ，此时 d=2蟺3 ，综上， d=2蟺3 或者 d=蟺 （3）解：当 T=3 时， bn+3=bn ，集合 S=b1,b2,b3 ，符合题意当 T=4 时， bn+4=bn ， sin(an+4d)=sinan ， ，或者 an+4d=2k蟺-an ，等差数列 an 的公差 ，故 ， d=k蟺2 ，又 k=1,2当 k=1 时满足条件，此时 S=-1,0,1 当 T=5 时， bn+5=bn ， sin(an+5d)=sinan ， ，或者 an+5d=2k蟺-an ，因为 ，故 k=1,2 当 k=1 时， 满足题意当 T=6 时， bn+6=bn ， sin(an+6d)=sinan ，所以 或者 an+6d=2k蟺-an ， ，故 k=1,2,3 当 k=1 时， S=32,1,32 ，满足题意当 T=7 时， bn+7=bn ， sin(an+7d)=sinan ，所以 ，或者 an+7d=2k蟺-an ， ， ，故 k=1,2,3当 k=1 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， m-n=7 ， m7 ，不符合条件当 K=2 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， m-n 不是整数，不符合条件当 K=3 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 4蟺 ， ，或者 ，此时， m-n 均不是整数，不符合题意综上， T=3,4,5,6 【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式 【解析】【分析】（1） 等差数列 an 的公差 ，数列 bn 满足 bn=sin(an) ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列an的通项公式和正弦值的求解方法求出数列bn的通项公式，从而求出当 时的集合S. (2)当等差数列首项 a1=蟺2时，利用数列 bn 满足 bn=sin(an) ， 用等差数列an的通项公式和正弦值的求解方法求出数列bn的通项公式，再利用数列bn的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 S 恰好有两个元素的d的值。 （3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 S 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列an的通项公式和正弦值的求解方法求出数列bn的通项公式， 再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值 3.（2019浙江）设等差数列an的前n项和为Sn ，a3=4.a4=S3 ，数列bn满足：对每个nN* ，Sn+bn ，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列（1）求数列an，bn的通项公式 ;（2）记Cn= ，nN* ，证明：C1+C2+Cn2，nN* .【答案】 （1）设数列 an 的公差为d ， 由题意得 a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d ，解得 a1=0,d=2 从而 由 Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn 成等比数列得 (Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn) 解得 bn=1d(Sn+12-SnSn+2) 所以 （2） 我们用数学归纳法证明当n=1时，c1=02，不等式成立；假设 时不等式成立，即 那么，当 n=k+1 时， 2k+2k+1+k=2k+2(k+1-k)=2k+1 即当 n=k+1 时不等式也成立根据（1）和（2），不等式 对任意 n鈭?mbrimbriN* 成立【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法 【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2）采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可.4.（2019天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知 （）求和的通项公式；（）设数列满足 求.【答案】 解：（）解：设等差数列 an 的公差为d，等比数列 bn 的公比为q依题意，得 3q=3+2d3q2-15+4d ，解得 d=3q=3 ，故 an=3+3(n-1)=3n,bn=3脳3n-1=3n . 所以， an 的通项公式为 an=3n ， bn 的通项公式 为 bn=3n .（）解： = . ， -得， .所以， 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 an 的公差为 d ， bn 的公比为 q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 d 和 q ，进而可得 an 、 bn 的通项公式；（II）数列 cn 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 n 项和 Sn 5.（2019天津）设是等差数列，是等比数列.已知 （）求和的通项公式；（）设数列满足 其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】 解：（）设等差数列 an 的公差为 d ，等比数列 bn 的公比为 q .依题意得 6q=6+2d,6q2=12+4d, 解得 d=3,q=2, 故 . 所以， an 的通项公式为 的通项公式为 bn=3脳2n .（）（i） .所以，数列 a2n(c2n-1) 的通项公式为 .（ii） 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。（）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，即可求 an 和 bn 的通项公式；（）由（） an 的通项公式为 的通项公式为 bn=3脳2n ， 得出数列 a2n(c2n-1) 的通项公式；（）将 代值并化简即可求值。6.（2019卷）已知是各项均为正数的等比数列， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和。 【答案】 （1）解：设的公比为q，由题设得 2q2=4q+16 ，即 q2-2q-8=0 .解得 q=-2 （舍去）或q=4.因此 an 的通项公式为 an=2脳4n-1=22n-1 .（2）由（1）得 bn=(2n-1)log22=2n-1 ，因此数列的前n项和为 . 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。 7.（2019北京）设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列. （I）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn ，求Sn的最小值.【答案】 解：（I）根据三者成等比数列， 可知 (a3+8)2=(a2+10)(a4+6) ，故 (-10+2d+8)2=(-10+d+10)(-10+3d+6) ，解得d=2，故 an=-10+2(n-1)=2n-12 ；（）由（I）知 ，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5，故n=5或6时， Sn 取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和 【解析】【分析】（I）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d，即可求出 an ；（）由（1），求出 Sn ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.8.（2019卷）已知数列an和bn满足a1=1，b1=0， （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 【答案】 （1）解：由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn) ，即 an+1+bn+1=12(an+bn) 又因为a1+b1=l，所以 an+bn 是首项为1，公比为 12 的等比数列由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8 ，即 an+1-bn+1=an-bn+2 又因为a1b1=l，所以 an-bn 是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知， an+bn=12n-1 ， an-bn=2n-1 所以 an=12(an+bn)+(an-bn)=12n+n-12 ，bn=12(an+bn)-(an-bn)=12n-n+12 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 an+1+bn+1=12(an+bn) ，则 an+bn 是首项为1，公比为 12 的等比数列，再结合已知条件可推出 an+1-bn+1=an-bn+2 即可得出 an-bn 是首项为1，公差为2的等差数列（2）结合（1）的结论把两个数列 an+bn 、 an-bn 的通项公式相减，即可得出两个数列an和bn的通项公式。9.（2019北京）已知数列an，从中选取第i1项、第i2项第im项（i1i2im）.若ai1ai2aim.则称新数列ai1 ， ai2 ， ，aim.为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列an的长度为P的递增子列的末项的最小值为am0 ， 长度为q的递增子列的末项的最小值为an0 ， 若pq，求证：am0an0；（III）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s-1个（s=1.2.），求数列an的通项公式。【答案】 解：（I）1,3,5,6或1,3,5,9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9（写出任意一个即可）；（II）设数列 an 的长度为q的一个递增数列为 ai1,ai2,ai3,.,aiq, 且 aiq=an0 ；设数列 an 的长度为p的一个递增数列为 aj1,aj2,aj3,.,ajp, 且 ajp=am0 ；因为pajp ，即 an0 am0 ;（III） （用数学归纳法证明即可）. 【考点】数列的应用 【解析】【分析】（I）根据题意直接写出符合题意的数列即可；（II）构造数列证明即可；（III）根据题意写出通项