6重在怎样教“短除法”

.重在怎样教“短除法”深圳市南山区前海小学 刘畅 518052约分和通分是小学分数的两个重要知识点。约分的关键是要找到分子和分母的最大公因数，而通分的关键是要找到几个分母的最小公倍数（为叙述方便，以下将最大公因数和最小公倍数简称为“两最”）。课改后教材一般都只学习用列举法找“两最”，而对用短除法找“两最”仅作简单介绍，不要求学生掌握。要不要教“短除法”一直是小学数学教师争论较多的问题之一，主要有两种观点。赞成：学习列举法之后，还是要教短除法，这是数学知识的升华。列举法只适合较小的数，速度太慢，且数字较大时不易找“两最”。而短除法找“两最”速度快，特别适合数字较大的数。列举法一次只能找到“两最”中的一种，而短除法一次能同时找到“两最”。反对：短除法不利于学生真正理解数学意义，是一种较模式化的方法。教给学生后，学生只是生搬硬套的使用，并不理解。并且会产生依赖心理，对提高数感，深层理解数学意义，锻炼思维能力不利。而列举法用途广，直接明了、易懂，不易遗忘，特别适合思维能力弱的学生，有利于学生对“两最”意义的理解。不讲短除法能节省学生大量时间和精力。短除法其实是一种很好的找“两最”的工具。反方的主要理由是：学生不易理解，难教难学。笔者认为：短除法并不难学、难理解；重要的是如何教短除法，使学生易学、易理解。不能将短除法与列举法对立起来，而应将两者统一：列举法的学习有利于短除法的理解。仔细研究列举法和短除法后，会发现列举法和短除法的特点分别是：1.列举法：因数层面，普选，局部思维，因数间有包含关系，建立在一个数写成两个因数的乘积之上(有序找因数)；公倍数与公因数分离。例：24：1，24；2，12；3，8；4，6 30：1，30；2，15；3，10；5，6 公因数：1，2，3，6最大公因数：6这里公因数2、3与6之间有包含关系。24：24，48，72，96，120， 30：30，60，90，120，公倍数：120，240，最小公倍数：120在找公倍数时没有用到公因数，公倍数与公因数是分离的。因此，列举法找“两最”虽直观、易理解，但耗时长、效率低。2.短除法：公因数层面，精选，整体思维，公因数间互斥(互质，是说各公因数对原数而言彼此独立，没有重叠)，建立在一个数写成多个因数的乘积之上；公倍数与公因数相关。（后面有说明） 短除法的传统教法是：先教互质概念，再教质因数，分解质因数，才能作好教短除法的准备。这个准备过程概念太多，时间太长，分析过细，使学生易产生畏惧情绪。其实只要学习两个概念就能使学生理解短除法：公因数与互质。公因数学生在列举法里就理解了,实际上只要补充一个互质概念就可以了。在学习列举法找最大公因数时，常会遇到两个数的最大公因数是1，这样的两数就是互质数。学生在前面多处见过互质现象，只是没有取名而已，所以互质概念学生也很易理解。互质两数有三种可能：A、两数都是质数，如3和7；B、一个质数，一个合数，如7和9；C、两个合数，如4和9。有了公因数和互质这两个概念，在学习短除法前，先学习短除法的过渡形式，它是建立在将一个数写成多个因数的乘积基础之上的(不是分解质因数,学生有长期乘法经验,很易理解)。例：24=23430=235显然，2和3是24和30的两个较小的公因数，且互不包含，相斥；而它们剩下的两个因数4和5（称为24和30各自独有的因数）互质。不难想到：24和30的最大公因数是互斥的两个公因数2和3的乘积：23=6这里还要说明一个显而易见的事实：两个非零数的乘积一定是它们的公倍数。例：2430=（234）（235）=（23）4（23）5是24和30的公倍数，但不是最小公倍数。因为在乘积里，24和30的最大公因数23乘了两次。根据24和30的因数组成，24和30的最小公倍数应是：（23）45=120，也就是20与30的最大公因数23与它们各自独有的因数4和5的乘积。在这里，公倍数与公因数相关，一举两得。上面不同于列举法的找24和30的“两最”的方法可用一种简单的格式表示出来： 2 24 30 3 12 15 4 5 最大：23=6 最小：（23）45=120这就是短除法。其中“最大”是指最大公因数，“最小”是指最小公倍数；符号相当于。短除法的思想就是：先找到两数的一个公因数，用两数分别除以公因数，得到两数中间的商；再找两个中间商的一个公因数，用两个中间商分别除以这个公因数，得到下一步的两个商；依此类推，直到最后两个商（实际是两数各自独有因数）互质为止。将这样找到的左边的公因数(彼此不包含,互斥)全部相乘，乘积就是所要找的两数的最大公因数；将左边全部公因数与最下面两个互质的独有因数相乘，乘积就是两数的最小公倍数。可形象地记成：最大乘左边，最小乘半圈。由此可见，短除法只需要建立在互斥的公因数（只要按短除法这种方式去找公因数，公因数一定是互斥的，不会包含）和互质概念之上即可完成，并不需要再去学习质因数、分解质因数这些概念。而且有前面过渡形式的铺垫，学生一般都能理解。当要找三个数的“两最”时，需将互质概念稍加推广。例：15 = 3 520 = 5 2 230 = 3 5 2从过渡形式不难看出，5是15、20和30的一个公因数，但3不是15、20和30的一个公因数。先仿照两数短除法做三数短除法的第一步： 5 15 20 30 3 4 6商3、4和6三数只有公因数1，即3、4和6互质。因此，15、20和30三数的最大公因数是5。但15、20和30三数最小公倍数是不是：5346呢？从15、20和30的因数组成看，5346肯定是三数的公倍数，但不是三数的最小公倍数。因为三个商3、4和6虽然互质，但它们中的两个数间并不互质，如3和6，4和6，还可以找两个数间的公因数如下： 5 15 20 30 3 3 4 6 找到3和6的公因数3，4照写 2 1 4 2 找到4和2的公因数2，1照写 1 2 1最后的三个商1、2和1不仅三个数互质（三个数只有公因数1），而且其中每两个数都互质。但一定要注意：左边三个公因数中，5是15、20和30三个数的公因数，而3和2只是其中两个数的公因数。因此，公因数3和2没有资格参与15、20和30三个数最大公因数的计算，只能参与三个数的最小公倍数的计算。对照15、20和30三个数因数乘积的过渡形式，我们确信三个数的：最大：5最小：532121=60事实证明，在列举法的公因数和互质这两个概念之上，不用增加其它成本（传统教法的质因数和分解质因数），完全可以教好找两个数或三个数 “两最”的短除法，学生也易懂易用。笔者和周围同事的教学实践也证明短除法是可教可学的，学生反馈的效果很好，使用率很高（尤其在大数时）。退一步讲：不能因为少数人的不理解，而否定短除法比列举法的优越性，更不能因此而不让大多数能理解短除法的同学去学习、运用它。实际使用时，绝大部分是要找两个数的最大公因数和最小公倍数，用短除法比用列举法找要快，而且两数时的短除法也较易理解和掌握；少数要找三个数或以上的一组数的最大公因数和最小公倍数时，用短除法比用列举法更是快多了，虽然此时短