《数值积分》PPT课件.ppt

/*NumericalIntegration*/,近似计算,1Newton-Cotes公式,在a,b上取ax0x1xnb，做f的n次插值多项式，即得到,节点,f(x),插值型积分公式/*interpolatoryquadrature*/,误差,第8章数值积分,1Newton-CotesFormulae,梯形公式/*trapezoidalrule*/,解：逐次检查公式是否精确成立,代入P0=1：,=,代入P1=x：,=,代入P2=x2：,代数精度=1,代数精度,考察其代数精度。,例如，有积分公式:,求该积分公式的代数精确度。,对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；至少存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。,解：取f(x)=1，,取f(x)=x，,取f(x)=x2，,=,=,1Newton-CotesFormulae,注：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）,当节点等距分布时：,令,Cotes系数,注：Cotes系数仅取决于n和i，可查表得到。与f(x)及区间a,b均无关。,1Newton-CotesFormulae,n=1:,TrapezoidalRule,/*令x=a+th,h=ba,用中值定理*/,代数精度=1,n=2:,SimpsonsRule,代数精度=3,n=3:Simpsons3/8-Rule,代数精度=3,n=4:CotesRule,代数精度=5,n为偶数阶的Newton-Cotes公式至少有n+1次代数精度。,Ck(n),/*CompositeQuadrature*/,高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的Newton-Cotes复合求积公式。,复合梯形公式：,在每个上用梯形公式：,=Tn,/*中值定理*/,2复合求积,2CompositeQuadrature,复化Simpson公式：,=Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令n=2n为偶数，这时，有,精确解：0.9460831,2CompositeQuadrature,收敛速度与误差估计：,例：计算,解：,其中,=3.138988494,其中,=3.141592502,2CompositeQuadrature,Q:给定精度，如何取n?,例如：要求，如何判断n=？,?,上例中若要求，则,即：取n=409,通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k,上例中2k409k=9时，T512=3.14159202,S4=3.141592502,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代是否停止。,梯形法的递推化,将积分区间a,bn等分，分点xk=a+kh,h=(b-a)/n,k=0,1,nTn表示用复化梯形法求得的积分值考察小区间xk,xk+1，记该区间的中点为xk+1/2=(xk+xk+1)/2该小区间二分前后的两个积分值分别记为Tkl和Tk2，则：,得：,则:,这一公式是递推形式的，式中h=(b-a)/n表示二分前的步长。,(变步长法),例：用变步长方法计算,解：,积分的准确值为0.946083070367,/*RombergIntegration*/,例：计算,已知对于=106须将区间对分9次，得到T512=3.14159202,由来计算I效果是否好些？,考察,=3.141592502,=S4,一般有：,Romberg序列,Romberg算法：,?,?,?,3龙贝格积分,KnTn