第一章复数与复变函数gai.ppt

第一章复数与复变函数,1复数2复平面上的点集3复变函数,DepartmentofMathematics,1复数,1复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，称为虚单位两个复数与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，因此，全体实数是全体复数的一部分,实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或,设复数，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的,复平面,所以我们用平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系同时，复Z也能用向量来表示。,从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或z平面,图1.1,图1.2,图1.3,3复数的模与幅角,由图1-1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为显然，对于任意复数均有,另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图1-2）（三角形两边之差第三边，图1-3）(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向即,表示点z1,z2之间的距离，记为,同理推广得：,向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角(Argument)，记为由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为的主角或的主幅角，则有注意：当时，其模为零，幅角无意义,3.2）辐角,例1.2求,解,例1.3已知流体在某点M的速度,求其大小和方向.,解大小:,方向:,注意：argz一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种是指落在之间的主辐角。具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。,从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有,同时我们引进著名的欧拉公式：,则可化为,3.3复数的表示法,或者,这里的argz不必是主值,复数的表示法,(1)代数形式,(2)三角形式,特别地,当,时有,(3)指数形式,或者,这里的argz不必是主值,例1.4,还有,例1.5,将复数,化为指数形式.,解原式,复数z的三种不同的表示法，其辐角之间的相互关系关系:,当,记,则,所以,例将复数,化为三角形式和指数形式,又,在复数的指数和三角表示法中，同样涉及到同复数的代数形式一样的如相等等的性质。,则有,或者,(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由(1.8)式的指数性质即可推得复数的乘除有，,因此,公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当时可得此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度,注意,注1在复平面上,一直线绕其上一定点旋转,可能有两种旋转方向,一种是”反时针”的,一种是”顺时针”.按惯例,我们规定反时针方向旋转的角度为正,顺时针方向旋转的角度为负.注2当把复数作为向量看待时,复数的乘法既不同于向量的点积(或纯量积),也不同于向量的叉积,另外，也可把公式(1.11)中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有,公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当z=rei时，有,当时，就得到熟知的德摩弗公式：,例.对于复数,，若,，则,至少有一为零试证之,证明：若,，则必有,，因而,由实数域中的对应结果知,至少有一为零,所以,至少有一个为零,复习：非零复数的三种表示及其相互转换,1）一般值,，其中,是,的辐角的一个特定值，可以使主值。,2）同一,，其辐角的两种主值,的关系见教材,3）,代数形式,三角形式,指数形式,这里的argz不必是主值,当,时,即是，任一非零复数z总可以表成,4）当,记,则,所以,5）对于,4复数的乘幂与方根,设,则,从而有,当,时,则得棣莫弗公式,当n是正整数时，定义,是满足,的复数,是非零复数z的n次方根。,求非零复数z的n次方根，相当于解二项方程,解,设,其n个根为,（.）,设,则（.）变形为,从而得到两个方程,解出得,从而有,因此z的n次方根为,(1.14),这里k表面上可以取,但实际上只要取,即可.注:,现将(1.14)表为,与,是一致的,其中,.为了在复数平面上表示,的不同值,可由,依次绕原点旋转,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,另外，(1.14)中,为1的n个n次方根，通常,记为,从而,的n个n次方根,：,还有,因为,为二项方程,之根，即,特别，,且有,例1.7计算,解因,故,例解方程,例1.7求,及,用,与,表示的式子,解由棣莫弗公式,因此,例化简,5共轭复数,设,则z的共轭复数为,显然,这表明在复平面上,两点对于实轴是对称点.,易证明下列公式,例1.9求复数,的实部,虚部和模,解(1)因为,所以,(2)因为,所以,例试证,是实数的充要条件为,或,分析：一个复数是实数也就是这个复数的虚部为零，有,公式,。可见,是实数,证：,例1.10设,是两个复数,试证,并应用此等式证明三角不等式(1.2),证,其次,由所证等式以及,就可导出三角不等式(1.2),例1.11若,试证,证两端平方,比较,的大小,即比较,的大小.由上例可知,则,由假设,6复数在几何上的应用举例,1)曲线的复数方程,例1.12连接,两点的线段的参数方程为,过,两点的直线的参数方程为,由此可知,三点,共线的充要条件为,图1.9,射线方程：,表从原点出发与正实轴夹角为,的一条射线。,一般地，,表从,出发与正实轴夹角为,的一条射线。,复平面上特殊曲线方程用复数表示的方法如下：从,平面上已给曲线方程,出发，经过代数变,换，可得其复数方程为,例1.13z平面上以原点为心,R为半径的圆周的方程,Z平面上以,为心,R为半径的圆周的方程为,z平面上实轴的方程为,虚轴的方程为,例试用复数表示圆的方程,其中,是实常数（如果不全为零，,是直线）,2)应用复数证明几何问题,例1.14求证:三个复数,成为一个等边三角形,的三顶点的充要条件是他们适合等式,证,是等边三角形的充要条件为:向量,绕,旋转,即得向量,也就是,即,即,两端平方化简,即得,例1.15证明三角形的内角和等于,证:设三角形的三个顶点分别为,对应的,三个顶角分别为,.于是,由于,则有,由假设,所以,故必,因而,作业:第42页2,3,4,第二节复平面上的点集,1.2.1复平面点集的几个基本概念,1.2.2区域与约当(Jordan)曲线,1.2.3典型例题,1.2.4小结与思考,1.2.1复平面点集的几个基本概念,定义1.1邻域:,记作:N(z0),N(z0)=z|z-z0|,记作：N0(z0)=z|00:N(z0)E=,点集,除点i是它聚点外，其余各,点都是它的孤立点。,点集,的每一个点都是孤立,点，,是聚点但不属于它。,，z平面上任一有限点都是它的,的聚点，,负实轴（包含原点）为它的边界。,定义1.3内点:,如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0:N(z0)E,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：E,定义1.4有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,以下五种说法是彼此等价的:,(1),为E的聚点或极限点;,(2),的任一邻域含有E的无穷多个点(不必属于E),(3),的任一邻域含有异于,而属于E的一个点,(4),的任一邻域含有E的两个点,(5)可从E取出点列,而以,为极限.,即对任给,存在正整数,使当,时,恒有,定义1.5区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,1.2.2区域与Jordan曲线,D加上D的边界称为闭域。记为DD+D,z1,z2,D,说明,(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(1)区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,不包含边界！,对于区域，也可以应用复数的不等式来表示,例1:集合,为半平面，它是一个单连通无界区域，,其边界为直线：,例2、集合,为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：,2,3,o,x,y,例3、集合,为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：,o,x,y,例4、集合:,为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆：,例5由两个圆,的内部所构成的点集E是区域吗？,例6、在扩充复平面上，集合,为单连通的无界区域，其边界分别为,而集合,为多连通的无界区域，其边界分别为：,(1)圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无界.,我们定义有界集E的直径为,定义1.7连续曲线:,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,C的正向：起点终点,o,没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交.,定义1.8设连续弧AB的参数方程为,任取实数列,并且考虑AB弧上对应的点列:,将它们用一折线,连接起来,的长度,(1.17),如果对于所有的数列(1.17),有上界,则AB弧为可,求长的,上确界,称为AB弧的长度,2.光滑曲线:设简单（或简单闭）曲线C的参数方程为,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,定义1.10由有限条光滑曲线衔接而成的连接曲线,称为逐段光滑曲线.,特别,简单折线是逐段光滑曲线.,注意:逐段光滑曲线必是可求长曲线,但简单曲线,(或简单闭曲线)却不一定可求长.,例1.22见书,例1.23试确定下列各参数方程所表示的曲线:,分析:曲线C的实参数方程,消去t即得C的直角坐标方程,从而可知,C是什么样的曲线.,解:原方程即,消去t得,表z平面上的上半椭圆周(简单曲线).,例1.24指明满足下列条件的z所构成的点集,分析先由已给出复数关系(等式或不等式)直接看,它表示什么轨迹,如果看不出,就将复数关系转化成,间的关系后再看.,解原式即,记,得,两边平方,整理后得,故所求点集是以,为中心,为半径的圆周,外部,是个无界区域.,简单闭曲线的性质约当定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.,4.单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,有界的单连通域.,例2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,是多连通域.,不是区域.,单连通域.,四、小结与思考,应理解区域的有关概念:,邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域,理解单连通域与多连通域.,放映结束，按Esc退出.,作业:第42页6.(1)(3)(5),7,8,9,第三节复变函数,1.3.2复变函数的概念,1.3.2复变函数的极限与连续,1.3.3小结与思考,1.3.1复变函数的定义,1.复变函数的定义:,2.单(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,例：,考虑映射,解：由于,因此，这个映射等价于下面的两个实变映射：,规定：除特别说明外，集E表示简单曲线、区域或闭区域。,若令z=rei,则w=f(z)=u(r,)+iv(r,),的函数与自变量之间的关系,4.复变函数与自变量之间的关系（代数和三角角度来谈）,复变函数一般有三种表现形式：,（2）若,，则有,（3）若,，则有,实变量的一元函数与二元实函数分别可用平面曲线与空间曲面来表示，自然会问一个复变函数能用什么来表示呢？,注意到复变函数，亦即涉及共四个实变量，这样就不可能用同一个平面上的几何图形来表示它我们取两张复平面，分别记为z平面与w平面，把复变函数看成是平面上的点集到平面上的点集的一个对应关系（图1.11），或者说是复平面上的两个点集之间的映射或变换与点对应的点称为点的象点，而点称为点的原象,函数的几何意义:,函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为w-平面。从集合论的观点，令,记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的映射成为,函数的几何意义:,把集E映射成集A,称及A分别为和E的象，而称和E分别为及A的原象。,若w=f(z)把E中不同的点映射成A中不同的点，则称它是一个从E到A的双射。,定义1.13如对z平面上点集E上的任一点z，有w平面上点集的点w，使得w=f(z),则称w=f(z)把E变（映）入F,或称w=f(z)是E到F的入变换,定义1.14如果,，且F的任一点w,有E的点z，使得,w=f(z),则称w=f(z)把E变（映）成F，或简称w=f(z)是E到F的满变换。,定义1.15若w=f(z)是点集E到F的满变换，且对F中的每一点w，在E中有一个（或至少有两个）点与之相对应，则在F上确定了一个单值（或多值）函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数或称为变换w=f(z)的逆变换；若z=f-1(w)也是F到E的单值变换，则称w=f(z)是E到F的双方单值变换或一一变换,例1.14考察函数的映射性质,z平面上的角形区域,（1）若设,，则函数,可表示为,于是可得函数,的如下映射性质：,z平面上从原点出发的射线,，被映射成w平面上的射线,如图1.12,，被映射成w平面上的角形区域,如图1.12,（2）若设，则函数可表示为，因此，,平面上的两族分别以直线和坐标轴为渐近线的等轴双曲线分别映射成平面上的两族平行直线（如图1.13）.,2复变函数极限极限与连续性,极限概念的几何意义:当变点z进入,的充分小的,去心邻域时,它们的像点就落入,的一个给定的,邻域内.,注意:极限,与,趋于,的方式无关,复变函数极限与实值函数极限,定理1.2,结论的证明,例试求,解：设,，则,沿直线,时，,上式随m不同而不同，故,不存在,例5,定理,与实变函数的极限性质类似.,惟一性,复合运算等,复变函数连续性的定义,定义1.17,连续的三要素:,（1）f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,2.连续函数的性质,定理1.3,例如,注解：,1、四则运算：保持加、减乘除（分母不等于零）；2、复合运算；3、关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来：如一致连续性、闭区域上连续函数的基本性质（一致连续性、有界性、取到极大模和极小模等）。,试证：,在z平面C上处处连续。,证：,只要,故,在,连续，由于,的任意性，故,在C上处处连续,例1.26设,试证,在原点无极限,从而在原点不连续.,证:,令变点,则,从而,故,在原点无确定的极限,从而在原点不连续.,例6,例1.27设,则函数,在点,的某一,去心邻域内是有界的,证:因,则对任给的