三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题1. 求函数的定义域。分析：要求的定义域，只需求满足的集合，即只需求出满足的值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上即可。解：由题意知需，也即需在一周期上符合的角为,由此可得到函数的定义域为小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如的函数，则其定义域由确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1） （2）分析：利用与进行求解。解：（1）（2）评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1） （2）（3） （4）分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数在闭区间上求最值得方法。解：(1) (2)(3) 当，即时，有最小值；当，即，有最大值1。(4)小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）一次形式（2）或的形式，通过来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性例 求下列函数的周期分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1） 把看成是一个新的变量，那么的最小正周期是，就是说，当且必须增加到时，函数的值重复出现，而所以当自变量增加到且必须增加到时，函数值重复出现，因此，的周期是。（2） 即的周期是。小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。一般地，函数或（其中为常数，的周期。四函数的奇偶性例 判断下列函数的奇偶性分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域关于原点对称。（2函数应满足函数的定义域不关于原点对称。函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性例：下列函数，在上是增函数的是（ ） 分析：解：与在上都是减函数，排除，知在内不具有单调性，又可排除，应选。小结：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：练习：1. 函数的定义域为（ ）2. 函数，的值域是( )3. 函数的周期为，则=-.4. 下列函数中是偶函数的是（ ）5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）（2）（3）（4）6. 在区间上，下列函数为增函数的是（ ）7. 函数的单调减区间是（ ）8. 如果，则函数的最小值是9. 函数的值域为（ ）答案：B B 3 C C D B B例1已知，且，则可以表示（ ）（A） （B）（C） （D）分析由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为依据诱导公式，有，由此排除了B和D又，故，因此本题应选C点评 反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角例2 （1）若，则等于（ ）（A） （B）（C） （D）（2）已知，那么的值是（ ）（A） （B）（C） （D）分析 （1）方法1 因为（注意 ）.（注意由有）.于是原式，故选.方法 2 利用， ，又， ，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可 设，由，有，故，并且，. 由此可知，故选. 点评 本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系例3 的值= 分析 本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定设，则，且又设，则，且，故 又由，可得 ，即例4函数的定义域为 ，值域为 分析所求函数定义域应该由下列条件确定：解得为，故所求定义域为又由，则， ，即所求值域为点评求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用例5函数的单调递增区间是 分析由，得函数的定义域为由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为因此，已知函数的递增敬意是点评 这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间例6满足的的取值范围是 ；满足的的取值范围是 分析 此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件 例7