2020年九年级数学中考复习之 三角形与等腰三角形 教案

三角形与等腰三角形一、中考要点中考要点考情考向分析主要考查三角形、等腰三角形的基本性质.一般与全等三角形、四边形相结合进行考查，中档题为主，以选择题、填空题的形式体现，培养数学抽象思维及逻辑推理能力.二、知识梳理1三角形的概念及分类三角形定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形三角形的分类按角分锐角三角形在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角直角三角形钝角三角形按边分等腰三角形等边三角形属于等腰三角形，是等腰三角形的特殊形式等边三角形不等边三角形三角形的特点角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性2.三角形中的重要线段中线定义在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线重心三角形的三条中线的交点特点三角形的每条中线都把三角形分为面积相等的两部分角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线内心三角形的三条角平分线的交点特点三角形的内心到三角形各边的距离相等高定义从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）垂心三角形的三条高所在的直线的交点垂心位置锐角三角形的垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心是直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的外部；中位线定义连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半特殊性三角形中位线分得的三角形的两部分的面积比为1:33.三角形中三边的关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。4.三角形的内角和外角三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180.推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。5.等腰三角形的性质和判定（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则a等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=（3）等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。6.三角形的面积公式三角形的面积=底高三、题型分类题型一三角形的有关概念例1.记若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )A2对 B3对 C4对 D6对答案B 解析：BCD、BCE、BCA两两组合共3对.变式训练1下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是( )答案C 解析：根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C题型二三角形中的三边关系例2已下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( )A2 cm,3 cm,4 cm B1 cm,2 cm,3 cm C3 cm,4 cm,5 cm D4 cm,5 cm,6 cm答案B 解析：三角形的两边之和大于第三边，B选项1+2=3，不能搭成三角形.变式训练2. 已一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A11 B12 C13 D14例3.已知已知a，b，c是三角形的三边长(1)化简：|abc|bca|cab|；(2)若ab11，bc9，ac10，求这个三角形的各边长；【总结升华】（1）若已知三条线段长，通常只需将其中两条较短的线段的和与最长的线段比较即可判断是否能构成三角形；（2）若已知三角形的两边长，求第三边的取值范围,则需要根据第三边大于两边之差，小于两边之和求解；（3）在应用三角形三边关系化简含有绝对值的代数式时，先根据三角形的三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值进行计算.答案（1）|abc|bca|cab|=abc；（2）a6，b5，c4； 解析：(1)a，b，c是三角形的三边长，abc0，bca0，cab0，|abc|bca|cab|abcbcacababc.(2)ab11，bc9，ac10，由，得ac2，由，得2a12，a6，b1165，c1064.a6，b5，c4.变式训练3如图，已知P是ABC内任意一点(1)试判断PBPCBAAC是否成立，若成立，请说明理由；(2)连接PA，试比较PAPBPC与ABBCAC的大小关系，并说明理由答案（1）成立；（2）PA+PB+PCBD， 在DPC中，DP+CDPC， 两式相加，则结论成立。（2）PA+PB+PCAB+BC+AC 理由：PB+PACB+CA，PA+PCBA+BC，PB+PCAB+AC，三式相加，即PA+PB+PCAB+BC+AC题型三三角形中的内角和外角例4. 如图，在ABC中，ACB90，沿CD折叠BCD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若A22，则BDC等于( )A44 B60 C67 D77答案C 解析：ACB90A22 CBD68；又BCD沿CD折叠且B恰好落在AC边上的点E处 BCDECD45，BDC180CBDBCD67【总结升华】利用三角形内角和与内外角的关系求角的问题，一般都需要利用题目所给的条件,将角转化到同一个三角形中，已知两角求第三角，已知一角及两角的数量关系求两角，已知三角的数量关系求这三个角.变式训练4如图将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30角的三角板的一条直角边和含45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是 .答案 75 解析：如图，ACD90、F45，CGFDGB45，则D+DGB30+4575，题型四等腰三角形的性质和判定例5. 如图,在ABC中,AB=AC,C=72,BC=2,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AC于点D,则线段AD的长为 .【总结升华】 对于等腰三角形的判定，解决的方案主要有：找等边（三角形中有两条边相等）；找等角（三角形中有两个角相等），其中做常用的方法是找等角.答案 2 解析：因为在ABC中,AB=AC,C=72,所以ABC=72,A=36.因为BC=BD,所以BDC=72，所以ABD=36.所以AD=BD=BC=2.变式训练5如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EFBC交AB于点F.(1)若C36，求BAD的度数；(2)求证：FBFE.答案 （1）BAD903654；（2）详见解析.解析：(1)ABAC，CABCC36，ABC36.BDCD，ABAC，ADBCADB90.BAD903654.(2)证明：BE平分ABC，ABECBE.EFBC，FEBCBE.FBEFEBFBFE.题型五等边三角形的性质和判定例6. 如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于 .【总结升华】 （1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均知为60。（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。（4）等边三角形重心、内道心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）答案 15 解析：ABC是等边三角形,ABC=ACB=60.ADBC,BD=CD,AD是BC的垂直平分线.BE=CE.EBC=ECB=45.ECA=60-45=15.变式训练6如图,在ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DEAB,DFBC,垂足分别为点E,F,且DE=DF. 求证:ABC是等边三角形.答案 证明:AB=AC,B=C.DEAB,DFBC,DEA=DFC=90.D为AC的中点,DA=DC.又DE=DF,RtADERtCDF(HL).A=C.A=B=C.ABC是等边三角形.四、易错点辨析1要注三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别.2三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”.3三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”.五、直击中考1.（2018河北(1)）下列图形具有稳定性的是（）A. B. C. D. 答案 A 解析：根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得A、具有稳定性，符合题B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键2.（2015河北(15)）如图，点A，B为定点，定直线lAB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：线段MN的长；PAB的周长；PMN的面积；直线MN，AB之间的距离；APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是( )A. B. C. D.答案 B 解析：点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，MN是PAB的中位线，MN=AB，即线段MN的长度不变，故错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，PAB的周长会随点P的移动而变化，故正确；MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，PMN的面积不变，故错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故错误；APB的大小点P的移动而变化，故正确综上所述，会随点P的移动而变化的是【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半、三角形的周长、等底等高的三角形的面积相等、平行线间的距离相等.3.（2014河北(2)）如图，ABC中，D,E分别上边AB，AC的中点，若DE=2，则BC=（ ）A、2 B、3 C、4 D、5答案 C 解析：根据三角形中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半，故选C【点睛】本题考查了三角形的中位线，简单题型，熟记性质即可.4.（2014河北(4)）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角上（ ）A、20 B、30 C、70 D、80答案 B 解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解a，b相交所成的锐角=10070=30故选：B【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.5.（2018河北(8)）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A. 作APB的平分线PC交AB于点CB. 过点P作PCAB于点C且AC=BCC. 取AB中点C，连接PCD. 过点P作PCAB，垂足为C答案 B 解析：利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论A、利用SAS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；C、利用SSS判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL判断出PCAPCB，CA=CB，点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，故选B【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键6.（2013河北（8）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的M处，以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40的N处，则N处与灯塔P的距离为（ ） A40海里 B60海里 C70海里 D80海里答案 D 解析：依题意，知MN40280，又M70，N40，所以，MPN70，从而NPNM80，选选D7.（2016河北(16)）如图，AOB=120，OP平分AOB，且OP=2若点M，N分别在OA，OB上，且PMN为等边三角形，则满足上述条件的PMN有（ ）A1个B2个 C3个 D3个以上答案 D 解析：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作MPN=60OP平分AOB，EOP=POF=60，OP=OE=OF，OPE，OPF是等边三角形，EP=OP，EPO=OEP=PON=MPN=60，EPM=OPN，在PEM和PON中，EPM=OPN,EP=OP,PEM=PON，PEMPONPM=PN，MPN=60，POM是等边三角形，只要MPN=60，PMN就是等边三角形，故这样的三角形有无数个故选D【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型8.（2013河北（13）一个正方形和两个等边三角形的位置如下图所示，若3 = 50，则1+2 =（ ） A90 B100C130 D180 答案 A 解析：如下图，ABC180506070,BACBCA18070110，118090BAC，218060BCA，12210（BACBCA）100，选B。9.（2017河北（17）如图，两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选一点，连接，分别延长到点，使，测得，则，间的距离为 答案 100 解析：根据三角形中位线定理计算即可解：AM=AC，BN=BC，AB是ABC的中位线，AB=1212MN=100m，故答案为：100【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键10.（2016河北（19）如右图，已知AOB=7，一条光线从点A出发后射向OB边若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时A=907=83当A83时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知1=2（1）若A1A2AO，光线又会沿A2A1A原路返回到点A，此时A=_（2）若光线从A点出发后，经若干次反射能沿原路 返回到点A，则锐角A的最小值=_答案 （1）76；（2）6 解析：根据入射角等于反射角得出1=2=907=83，再由1是AA1O的外角即可得A度数；如图，当MNOA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出5、9的度数，从而得出与A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题