中值定理构造辅助函数

微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数例1：证明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数例2：若,是使得的实数证明方程在（0，1）内至少有一实根证：由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则1）在0，1上连续2）在（0，1）内可导3）=0， 故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 这说明方程在（0，1）内至少有实根 2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数 例3：设在1，2上连续，在（1，2）内可导，证明存在使分析：结论变形为，不易凑成我们将换为，结论变形为，积分得：，即，从而可设辅助函数为，有本题获证例4：设函数，在上连续，在内可微，证明存在，使得：证：将变形为，将换为，则，两边关于积分，得： ，所以，其中，由可得由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数例5：证明拉格朗日中值定理分析：通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数例6：若在上连续且试证在内至少有一点，使分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足0,因而符合介值定理的条件当为的一个零点时，恰等价于因此即知证明的关键是构造辅助函数4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1） 将结论变形，使常数部分分离出来并令为2） 恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为4）端点换变量的表达式即为辅助函数例7：设在上连续，在内可导，试证存在一点，使等式成立分析：将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数例8：设在上存在，在，试证明存在，使得分析：令，于是有，上式为关于，三点的轮换对称式，令（or：，or：），则得辅助函数5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论例9：设函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得分析：所要证的结论可变形为：，即，因此可构造函数，则对与在0，1上应用柯西中值定理即可得到证明例10：设函数在0,1上连续，在（0，1）内可导，且=0，对任意有证明存在一点使（为自然数）成立分析：欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证：即，于是引入辅助函数（为自然数）例11：设函数在区间0，+上可导，且有个不同零点：试证在0，+内至少有个不同零点（其中，为任意实数）证明：欲证在0，+）内至少有个不同零点，只需证方程=0在0，+内至少有个不同实根因为，故只需证方程在内至少有个不同实根引入辅助函数，易验证在区间，上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在0，+内至少有个不同实根，从而证明了方程=0在0，+内至少有个不同实根6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为，再将等式中一个端点的值换成变量，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数，这样首先可以保证=0，而由等式关系=0自然满足，从而保证满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数与之间的关系例12：设是上的正值可微函数，试证存在，使证明：设，令容易验证在 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在使，解得，故例13：设函数在上连续，在内可导，则在内至少存在一点使证明：将所证等式看作，设，令，则满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点，使，即，若=0，则，结论成立；若，则，从而有例14：设，则存在使分析：对于此题设作函数应用罗尔定理可得存在，使，即，从而，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数证明：将所证等式变形为，设，令，则满足罗尔