二元一次方程组和不等式的应用

二元一次方程组与不等式的应用知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12 。注意：免税利息=利息 5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意及题目中的数量关系；2设未知数:可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。 综合练习1.为实现区域教育均衡发展，市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造，根据预算，共享资金1575万元，改造1所A类学校和2所B类学校共需资金230万元，改造2所A类学校和1所B类学校共需资金205万元，（1）改造1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？解（1）设改造1所A类学校需资金x万元，改造1所B类学校需资金y万元.解得： 答：略（2）设该县有A类学校m所，B类学校n所。则 因为A类不超过5所，即： 5，所以，n15B类学校至少15所。2. （2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t123y2214469（1）求ab的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额进货总金额这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）解答：解：（1）根据表中的数据可得（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货n2+4n+n2+20n=1140n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=3998+741611406=798（元）（3）设第m天甲级干果的销售量为2m+19（2m+19）（2m+41）6，解得n7第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克3.（2011江苏镇江常州，26，7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t123y2214469（1）求ab的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额进货总金额这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）解答：解：（1）根据表中的数据可得（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货n2+4n+n2+20n=1140n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=3998+741611406=798（元）（3）设第m天甲级干果的销售量为2m+19（2m+19）（2m+41）6n7第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解4（2011重庆市，25，10分）潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积（单位：亩）种植B类蔬菜面积（单位：亩）总收入（单位：元）甲3112500乙2316500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等 求A、两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？ 某种植户准备租20亩地用来种植A、两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植类蔬菜的面积多于种植类蔬菜的面积（两类蔬菜的种植面积均为整数），求该种植户所有租地方案.解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元由题意得： 解得：答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元 （2）设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a）亩由题意得： 解得：10a14.a取整数为：11、12、13、14. 租地方案为：类别种植面积 单位：（亩）A11121314B98765. （2011安顺）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集（1）求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？（2）有几种购买T恤和影集的方案？解答：解：（1）设每件T恤和每本影集的价格分别为x元和y元，则，解得答：每件T恤和每本影集的价格分别为35元和26元（2）设购买T恤t件，购买影集（50t）本，则180030035t+26（50t）1800270解得t，因为t为正整数，所以t=23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买T恤23件，影集27本，此时余下资金293元；第二种方案：购买T恤24件，影集26本，此时余下资金284元；第三种方案：购T恤25件，影集25本，此时余下资金275元所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足6. 某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是x，y元，根据题意得：，解得：，答：每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是60元，800元；（2）设该经销商购进电脑机箱m台，购进液晶显示器（50-m）台，根据题意得：，解得：24m26，因为m要为整数，所以m可以取24、25、26，从而得出有三种进货方式：电脑箱：24台，液晶显示器：26台，电脑箱：25台，液晶显示器：25台；电脑箱：26台，液晶显示器：24台方案一的利润：2410+26160=4400，方案二的利润：2510+25160=4250，方案三的利润：2610+24160=4100，方案一的利润最大为4400元7.（2011安顺，24，9分）某班到毕业时共结余班费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品已知每件T恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集（1）求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元？（2）有几种购买T恤和影集的方案？解答：解：（1）设每件T恤和每本影集的价格分别为x元和y元， 则，解得答：每件T恤和每本影集的价格分别为35元和26元（2）设购买T恤t件，购买影集（50t）本，则180030035t+26（50t）1800270解得t，因为t为正整数，所以t=23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买T恤23件，影集27本，此时余下资金293元；第二种方案：购买T恤24件，影集26本，此时余下资金284元；第三种方案：购T恤25件，影集25本，此时余下资金275元所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足8.（2011贵,23，）童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时工资待遇为：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资500元，按月结算该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A种产品可得报酬1.50元，每生产一件B种产品可得报酬2.80元该厂工人可以选择A、B两种产品中的一种或两种进行生产工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产3件A产品和2件B产品需85分钟（1）小李生产1件A产品需要15分钟，生产1件B产品需要20分钟（2）求小李每月的工资收入范围解答：解：（1）解：设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟，根据题意，得，解之，得，答：小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要15分钟和20分钟；（2）由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利1.5015=0.1元，生产B种产品每分钟可获利2.8020=0.14元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为0.122860=1056元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为0.1422860=1478.4元小李每月的工资数目不低于1056元而不高于1478.4元9.（2011黑龙江省黑河， 27，10分）建华小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？（2）若该小区预计投资金额超过10万元而不超过11万元，则共有几种建造方案？（3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元在（2）的条件下，新建停车位全部租出若该小区将第一个月租金收入中的3600元用于旧车位的维修，其余收入继续兴建新车位，恰好用完，请直接写出该小区选择的是哪种建造方案？【解答】（1）解：设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，由题意得，解得，答：新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元；（4分）2设新建m个地上停车位，则100.1m+0.4（50m）11，解得30m，因为m为整数，所以m=30或m=31或m=32或m=33，对应的50m=20或50m=19或50m=18或50m=17，所以，有四种建造方案（4分）3建造方案是：建造32个地上停车位，18个地下停车位（2分）10.（2011浙江宁波，24）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用解答：解：（1）设购买甲种树苗x株，则乙种树苗y株，由题意得：，解得答：购买甲种树苗500棵，乙种树苗300棵（2）设甲种树苗购买z株，由题意得：85%z+90%（800z）80088%，解得z320答：甲种树苗至多购买320株（3）设购买两种树苗的费用之和为m，则m24z+30（800z）240006z，在此函数中，m随z的增大而减小所以当z320时，m取得最小值，其最小值为24000632022080元答：购买甲种树苗300棵，乙种树苗500棵，即可满足这批树苗的成活率不低于88%，又使购买树苗的费用最低，其最低费用为22080元11. （2010河南，21，10分）某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动，收费标准如下：人数m0m100100m200m200收费标准（元/人）908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人经核算，若两校分别组团共需花费10 800元，若两校联合组团只需花赞18 000元（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？解答：解：（1）设两校人数之和为a若a200，则a=1800075=240若100a200，则，不合题意所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人，超过200人（3分）（2）设甲学校报名参加旅游的学生有x人，乙学校报名参加旅游的学生有y人，则当100x200时，得解得（6分）当x200时，得解得此解不合题意，舍去甲学校报名参加旅游的学生有160人，乙学校报名参加旅游的学生有80人（10分）12. （2011广东湛江,26,12分）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：A种产品B种产品成本（万元件）35利润（万元件）12（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？（3）在（2）条件下，哪种方案获利最大？并求最大利润解答：解：（1）设A种产品x件，B种为（10-x）件，x+2（10-x）=14，x=6，A生产6件，B生产4件；（2）设A种产品x件，B种为（10-x）件，3x6方案一：A 3件 B生产7件方案二：A生产4件，B生产6件方案三：A生产5件，B生产5件；（3）第一种方案获利最大，31+72=17最大利润是17万元13. ( 2012年浙江省宁波市,24,10)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80说明：每户产生的污水量等于该户的用水量；水费=自来水费+污水处理费已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元（1）求a,b的值（2）随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 %，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？【解析】（1）由题意，得 解得 a=2.2,b=4.2 （2）当用水量为30吨时，水费为：173+135=116元，92002%=184元，116184，小王家六月份的用水量超过30吨，设小王家6月份用水量为x吨，由题题，得173+135+6.8（x-30）184,解得x40.小王家六月份最多用水40吨。【答案】(1)a=2.2,b=4.2.(2)40吨14.（2012哈尔滨，题号26分值 8）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元购买2个足球和5个篮球共需500元 (1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?(2)根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个要求购买足球和篮球的总费用不超过5 720元，这所中学最多可以购买多少个篮球?解：设一个足球、一个篮球分别为x、y元，根据题意得，解得，一个足球、一个篮球各需50元、80元；（2）设足球买x个，则篮球（96-x）个，根据题意得50x+80(96-x)5720，解得x，x为整数，x最小取66，96-x=96-66=30,最多可以买30个篮球15.（2012年福建福州质量检查）(满分12分)某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元 (1) 求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？ (2) 该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元则该经销商有哪几种进货方案？答案：解：(1) 设A型计算器进价是x元，B型计算器进价是y元，得：， 解得： 答：每只A型计算器进价是40元，每只B型计算器进价是60元(2) 设购进A型计算器为z只，则购进B型计算器为(50z)只，得：，网解得：24z26，因为z是正整数，所以z24，25，26答：该经销商有3种进货方案： 进24只A型计算器，26只B型计算器； 进25只A型计算器，25只B型计算器； 进26只A型计算器，24只B型计算器16.（广州海珠区2012毕业班综合调研）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为832，且其单价和为130元求篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有哪几种购买方案？来#源:%中国教*育出版网答案：解：（1）设篮球、羽毛球拍和兵乓球拍的单价分别为，则有解之得故来源:Z。xx。k.Com答：篮球单价为80元/个，羽毛球拍单价为30元/副，乒乓球拍单价为20元/副（2）设购买篮球个，则购买羽毛球拍副，乒乓球拍副，由题意得解之得：当时，当时，故有以下两种购买方案：篮球13个，羽毛球拍52副，乒乓球拍15副；篮球14个，羽毛球拍56副，乒乓球拍10副. 17.（2012 年 福 州 市 初 中 毕 业 班 质 量 检 查）(满分12分)某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元 (1) 求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？ (2) 该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元则该经销商有哪几种进货方案？www.z#zste&p*.com解：(1) 设A型计算器进价是x元，B型计算器进价是y元，得：， 解得： 答：每只A型计算器进价是40元，每只B型计算器进价是60元(2) 设购进A型计算器为z只，则购进B型计算器为(50z)只，来源:zz得：， 解得：24z26，因为z是