2空间角与距离的向量解法

911空间角与距离的向量解法要点透视： 1单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，且长都等于1，则这个基底叫做单位正交基底，记作， 2空间向量分解定理 若，是空间不共面的三个向量，则对于空间任意一个向量必存在唯一一组有序实数x，y，z，使=x+y+z成立 3空间向量的直角坐标运算设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则（1）+(a1b1，a2b2，a3b3)； （2）(a1b1，a2b2，a3b3)； （3）a1b1a2 b2a3b3， 特殊地=a12a22a32；（4）/a1=b1，a2=b2，a3=b3(RR，b)或(b1b2b30)； （5）a1b1+a2b2+a3b3=0； （6）A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，=(x2x1, y2y1, z2z1)。 4向量与的夹角 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则5两点距离公式设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则.活题精析： 例1(2003年江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1 B1 C1中底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1 B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G （1）求A1 B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； （2）求点A1到平面AED的距离 要点精析：（1）连接BG，则BG是BE在面ABD上的射影，即A1 BG是 A1 B与平面ABD所成的角如图所示建立坐标系，坐标原点为C，设CA2a， 则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)， A1( 2a，0，2)，E(a，a，1)， G(a，a，) 所以(a，a，)，( 0，2a，1)所以=a2+=0，解得a1 所以=(2，2，2)，=() 所以cosA1 BG= A1 B与平面ABD所成角是 （2）由（1）有A(2，0，0)，A1 (2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1) =(1，1，1)(1，1，0)0， =(0，0，2)(1，1，0)0， 所以ED平面AA1E 又ED平面AED，所以平面AED平面AA1E又面AED面AA1E=AE，所以点A1在平面AED的射影K在AE上设，则=(，2)，由=0，即+2=0，解得=，所以(, , )，所以|=例2(2003年天津卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点（1）证明：EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离要点精析：（1）建立如图的坐标系，得B(0，1，0)，D1 ( 1，0，2)，F(，1)，C1 (0，0，2)，E(0，0，1)， =(，0)，=(0，2)， =(1，1，2) 0，=0即EFCC1，EFBD1，故EF是BD1与CC1的公垂线（2）解：连接ED1，有 由（1）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离是d，则SDBEdSDBD1EF， AA1=2，AB=1， BDBEED，EF SDBD12=SDBE=()2=， d=,故D1到平面DBE的距离是例3正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是a，侧棱长是a（1）建立适当的坐标系，并写出A，B，A1，C1的坐标；（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角要点精析：（1）如图，取点A为坐标原点O，直线AB，OA1分别为y轴，z轴，平面ABB1A1经过点A的垂线为x轴，建立空间直角坐标系，则由题设条件，可得相关各点的坐标表示为： A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)（2）取A1B1的中点M，则有M(0，a，a)连接AM，MC，则得向量=(0, a, a)，=(a, 0, 0)，(0，0，a)， , ，得，又是平面ABB1A1上不共线的向量，所以得平面 ABB1A1，从而AC1与侧面ABB1A1所成的角等于 =(a，a，a)ACI 0a22a2a2，从而得cos=， =30.即得与侧面ABB1A1所成的角是30思维延伸：建立空间坐标系研究空间图形，宜从图形的实际出发，合理选好坐标轴，可使点、线的表示简化，运算简明快捷选坐标轴可充分利用所讨论的空间图形的已有直线的关系和性质，如垂直关系或对称性质，等等练 习 题一、选择题1=( 2，2，2)，( 2，0，4)，则与的夹角是（ ）Aarccos Barcsin ICarcsin D902空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC=，则cos的值是（ ）A B C D03P是二面角AB一棱上的一点，分别在，平面上引射线 PM，PN，如果BPMBPN45，MPN=60，那么二面角AB的大小为（ ）A60 B70 C80 D904在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角是（ ）Aarccos Barccos Carccos Darccos5正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 BC1与平面 A1BD所成的余弦值为（ ）A B C D6在如图所示的四面体SABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（ ）A90 B60 C45 D30二、境空题：7已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为 。8设是平面的单位法向量，AB是平面的一条斜线，其中A，则AB与平面所成角为 ；B点到平面 的距离是 。三、解答题：9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F：FA=1：2，求平面B