[张角定理在平面几何中的应用]什么是张角定理

张角定理在平面几何中的应用什么是张角定理 江苏泰州实验学校 225300 摘要：由面积原理推导出的张角定理在平面几何中有着极其广泛的应用. 本文现分类举例说明，以供初中数学教师阅读时参考. 关键词：张角定理；应用 ?张角定理 已知由点P发出的三条射线PA，PB，PC，且APC=，CPB=，APB=+180，那么A，B，C三点在一直线上的充分必要条件是=+. 证明如图1，如果A，B，C三点共线，那么PAB=PAC+PCB. 所以PA?PB?sin（+）=PA?PC?sin+PB?PC?sin. 两边同时除以PA?PB?PC，即得所要证的等式. PACB 图1 反之，如果命题中等式成立，那么反推可得PAB=PAC+PCB，这说明ABC=PAB-PAC-PCB=0，故A，B，C三点共线. ?定理的应用 1. 证线段相等 例1如图2，以O的直径AB为一边作等边三角形ABC，同时将另一侧的半圆三等分，其分点为M，N，连结CM，分别交AB于点D，E. 求证：AD=DE=EB. 证明如图2，连结AM，OM，则以A为视点，对C，D，M用张角定理，得 =+. 所以AD=. CADOEBMN 图2 设O的半径为R，则AD=R. 由图形的对称性知BE=R. 所以DE=2R-R-R=R. 故AD=DE=EB. 2. 证线段的和差关系 例2在正五边形ABCDE中，AC交BE于点F，求证：AC=AB+BF. 证明如图3，以B为视点，对A，F，C用张角定理，得=+. 设AB=BC=k（k0），则BF=k. 所以AB+BF=k+k =k =k=2kcos. 而在ABC中，由正弦定理，得AC=k=k=2kcos. 故AC=AB+BF. 3. 证复杂比例式 例3在ABC中，A的平分线为AD，求证：AD2=AB?AC-BD?DC. 证明如图4，以A为视点，对B，D，C用张角定理，得 =+， 所以AD=. 在BDA和ADC中，由余弦定理，得 BD2=c21- cos2， DC2=b21- cos2. 所以BD?DC=bc1- cos2. 故AB?AC-BD?DC=cos2=AD2. 4. 证线段倒数的和差关系 例4已知四边形ABCD两对对边的延长线分别交于点K，L，过点K，L作直线，对角线AC，DB的延长线分别交直线KL于点G，F. 求证：+=. DAKFLGCB 图5 证明如图5，设KA=a，KB=b，KC=c，KD=d，KF=f，KG=g，KLl，则以K为视点，分别对A，B，L；D，C，L；D，B，F及A，C，G用张角定理，得 =+， =+， =+， =+. 所以+-，得 -=0. 所以+=，即+=. 5. 证三点共线 例5如图6，在O内，直径AB半径OC，O与OB，OC相切于点D，E，并与O内切于点F，求证：A，E，F三点共线. AOODBFEC 图6 证明设ODOD=OE=r，则OO=r，且OOD=45，O，O，F三点共线. 再设OA=OF=R. 因为OO=R-r=r， 所以r=（-1）R. 所以=. 所以=+. 由张角定理知A，E，F三点共线. 6. 证三线共点 例6在ABC中，自B，C分别向A的外角平分线作垂线，得垂足M，N，求证：BN，CM与A的内角平分线共点. 证明如图7，设CM与A的内角平分线交于K点，则以A为视点，对C，K，M用张角定理得 =+， 即=+. 同理，设BN与A的内角平分线交于K点，则以A为视点，对B，K，N用张角定理，得 =+. 因为AM=ABsin，AN=ACsin，故将其分别代入得 =+=. 所以AK=AK，故K与K点重合. 因此BN，CM与A的内角平分线共点. 综上所述可知：应用张角定理证明几何题时，关键在于根据题设，寻找与结论有关的线段所在的三角形，找准视点，利用张角定理写出关系式： =+， 再结合正弦、余弦定理，三角函数的定义和三角形的面积公式S=bcsinA，通过变形化简，消去无用的参数即可. 该方法简捷明快，富有规律，而且不添或少添辅助线，符合新课程改革关于“拓宽视野、注重科研、探究应用”的理念要求，故笔者认为，在今后的教学过程中，对这类专题有必要引起重视. 教学实践表明，研究几何定理，对于帮助学生理解课本内容，提高分析问题和解决问题的能力，启迪思维、勤于探究、掌握“双基”、感悟数学思想均有益处. 另外，这样的专题研究，对于培养学生的探索精神和创新意识