中考翻折问题答案解析

翻折问题-解答题综合1AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，3），B（2，0），O是坐标原点（1）将AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形AO1B1；（2）若点M（x，y）在AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是2（1）数学课上，老师出了一道题，如图，RtABC中，C=90，求证：B=30，请你完成证明过程（2）如图，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求ADG的度数和AG的长（3）若矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图），当AB=6，求EF的长3如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把DCE沿DE折叠，点C的对应点为C（1）若点C刚好落在对角线BD上时，BC=； （2）若点C刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长4如图，矩形纸片ABCD，将AMP和BPQ分别沿PM和PQ折叠（APAM），点A和点B都与点E重合；再将CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处（1）判断AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的长5如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FGCD，交AE于点G连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值6如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将FAB、AED、DHC、CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处（1）求证：四边形ADCB是矩形；（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长7（1）操作发现：如图，在RtABC中，C=2B=90，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处请写出AB、AC、CD之间的关系；（2）问题解决：如图，若（1）中C90，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形ABCD中，B=120，D=90，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长8如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长9如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x（1）当BF的最小值等于时，才能使点B落在AD上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求AE的长；（3）当AE=3时，点F离点B有多远？10如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求ADE的周长11【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15大小的角呢？【实践操作】如图第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到ADEFBC第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM折痕BM 与折痕EF相交于点P连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN【问题解决】（1）求NBC的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除NBC的度数以外）（3）你能继续折出15大小的角了吗？说说你是怎么做的12已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F分别把RtBAE和RtDCF沿 BE，DF折叠成如图所示位置（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求AE的长（2）若折叠后点A和点C恰好落在对角线BD上，求AE的长13如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）GFFD：（直接填写=、）（2）判断CEF的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：四边形EBCF的面积为4cm2整个着色部分的面积为5.5cm2运用所学知识，请论证小明的结论是否正确14操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得RtAEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到EBF探究：EBF的形状，并说明理由15 1）如图1，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，若A=40，求1+2的度数；（2）通过（1）的计算你发现1+2与A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠 如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中+=；1+2+3+4+5+6=； 如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则中的关于“1+2+3+4+5+6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由16如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将BEF对折，点B落在直线EF上的B处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A处，得到折痕EN（1）若BEB=110，则BEC=，AEN=，BEC+AEN=（2）若BEB=m，则（1）中BEC+AEN的值是否改变？请说明你的理由（3）将ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与BC重合，求DNA17如图ABC中，B=60，C=78，点D在AB边上，点E在AC边上，且DEBC，将ADE沿DE折叠，点A对应点为F点（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：BDF是等边三角形；（2）若点A落在三角形外（如图2），且CFAB，求CEF各内角的度数18如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，AOC=BCO=90，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为，将四边形OABC的直角OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则=；（2）若=45，四边形OABC的直角OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值19在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B（1）如图（1），如果点B和顶点A重合，求CE的长；（2）如图（2），如果点B和落在AC的中点上，求CE的长20把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长21如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把A沿DP折叠，使点A落在点A处求出当BPA为直角三角形时，点P运动的时间22在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把AHE沿直线HE翻折得到FHE如图1，当DH=DA时，（1）填空：HGA=度；（2）若EFHG，求AHE的度数，并求此时a的最小值；23如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，点B落在A1处剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合（1）情形二中，B与C的等量关系（2）若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C的等量关系（3）如果一个三角形的最小角是4，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角答：24在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）求折痕EF的长25如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK，KB交MN于O（1）若1=80，求MKN的度数；（2）当B与D重合时，画出图形，并求出KON的度数；（3）MNK的面积能否小于2？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由26七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为26厘米，回答下列问题：（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图中，BM=厘米；在图中，BM=厘米（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm，为了保证能折成图形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？（3）如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）27将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：（1）观察图，1和2有怎样的关系？并说明你的依据（2）猜想图中重叠部分图形MBD的形状（按边），验证你的猜想（3）若图中1=60，猜想重叠部分图形MEF的形状（按边），验证你的猜想28如图，长方形纸片ABCD中，AB=10，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时，求AF的长；（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时，求AF的长29矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的B处，再沿BG折叠四边形，使BD边与BF重合，且BD过点F已知AB=4，AD=1（1）试探索EF与BG的位置关系，并说明理由；（2）若四边形EFGB是菱形，求BFE的度数；（3）若点D与点F重合，求此时图形重叠部分的面积30（1）操作发现：如图，在RtABC中，C=2B=90，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系（2）问题解决：如图，若（1）中C90，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形ABCD中，B=120，D=90，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC=3，直接写出DE的长翻折问题-解答题综合参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016安徽模拟）AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，3），B（2，0），O是坐标原点（1）将AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形AO1B1；（2）若点M（x，y）在AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是（x+3，y）【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变【解答】解：（1）如图所示：（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（x+3，y）故答案为：（x+3，y）【点评】此题主要考查了作图平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律2（2016贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图，RtABC中，C=90，求证：B=30，请你完成证明过程（2）如图，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求ADG的度数和AG的长（3）若矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图），当AB=6，求EF的长【分析】（1）RtABC中，根据sinB=，即可证明B=30；（2）求出FAD的度数，利用翻折变换的性质可求出ADG的度数，在RtAFD中求出AF，得出AE，在RtAEG中可求出AG，利用翻折变换的性质可得出AG的长度（3）先判断出AD=AC，得出ACD=30，DAC=60，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出DAF=FAO=30，在RtADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案【解答】（1）证明：RtABC中，C=90，sinB=，B=30；（2）解：正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，EA=FD=边长=1，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，AD=AD=2，=，FAD=30，可得FDA=9030=60，A沿GD折叠落在A处，ADG=ADG，AG=AG，ADG=15，AD=2，FD=1，AF=，EA=EFAF=2，EAG+DAF=180GAD=90，EAG=90DAF=9030=60，EGA=90EAG=9060=30，则AG=AG=2EA=2（2）；（3）解：折叠后B、D两点恰好重合于一点O，AO=AD=CB=CO，DA=，D=90，DCA=30，AB=CD=6，在RtACD中，=tan30，则AD=DCtan30=6=2，DAF=FAO=DAO=30，=tan30=，DF=AD=2，DF=FO=2，同理EO=2，EF=EO+FO=4【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通3（2016贵阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把DCE沿DE折叠，点C的对应点为C（1）若点C刚好落在对角线BD上时，BC=4； （2）若点C刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长【分析】（1）根据点B，C，D在同一直线上得出BC=BDDC=BDDC求出即可；（2）利用垂直平分线的性质得出CC=DC=DC，则DCC是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；（3）利用当点C在矩形内部时，当点C在矩形外部时，分别求出即可【解答】解：（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，BC=BDDC=BDDC=106=4；故答案为：4；（2）如图2，连接CC，点C在AB的垂直平分线上，点C在DC的垂直平分线上，CC=DC=DC，则DCC是等边三角形，设CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2x2=62，解得：x=2，即CE的长为2；（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：当点C在矩形内部时，如图3，点C在AD的垂直平分线上，DM=4，DC=6，由勾股定理得：MC=2，NC=62，设EC=y，则CE=y，NE=4y，故NC2+NE2=CE2，即（62）2+（4y）2=y2，解得：y=93，即CE=93；当点C在矩形外部时，如图4，点C在AD的垂直平分线上，DM=4，DC=6，由勾股定理得：MC=2，NC=6+2，设EC=z，则CE=a，NE=z4故NC2+NE2=CE2，即（6+2）2+（z4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，综上所述：CE的长为93【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键4（2015南充）如图，矩形纸片ABCD，将AMP和BPQ分别沿PM和PQ折叠（APAM），点A和点B都与点E重合；再将CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处（1）判断AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的长【分析】（1）由矩形的性质得A=B=C=90，由折叠的性质和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC，所以AMPBPQCQD；（2）先证明MD=MQ，然后根据sinDMF=，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据AMPBPQ，列出比例式解方程求解即可【解答】解：（1）AMPBPQCQD，四边形ABCD是矩形，A=B=C=90，根据折叠的性质可知：APM=EPM，EPQ=BPQ，APM+BPQ=EPM+EPQ=90，APM+AMP=90，BPQ=AMP，AMPBPQ，同理：BPQCQD，根据相似的传递性，AMPCQD；（2）ADBC，DQC=MDQ，根据折叠的性质可知：DQC=DQM，MDQ=DQM，MD=MQ，AM=ME，BQ=EQ，BQ=MQME=MDAM，sinDMF=，设DF=3x，MD=5x，BP=PA=PE=，BQ=5x1，AMPBPQ，解得：x=（舍）或x=2，AB=6【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式5（2015漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FGCD，交AE于点G连接DG（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值【分析】（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，1=2，由FGCD，可得1=3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在RtEFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FGCD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在RtEFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8x）2=x2，解得：x=5，CE=8x=3，=【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键6（2015江西校级模拟）如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将FAB、AED、DHC、CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处（1）求证：四边形ADCB是矩形；（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长【分析】（1）由对折可知EAB=PAB，FAD=PAD，利用等角关系可求出BAD=90，同理可求出ADC=ABC=90即可得出四边形ADCB是矩形（2）由对折可知S菱形EHGF=2S矩形ADCB即可求出EHGF的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接AC，得FG=AC=BD利用勾股定理就可得出边长【解答】（1）证明：由对折可知EAB=PAB，FAD=PAD，2（PAB+PAD）=180，即BAD=PAB+PAD=90同理可得，ADC=ABC=90四边形ADCB是矩形（2）解：由对折可知：AEBAPB，AFDAPD，CGDCQD，CHBCQBS菱形EHGF=2S矩形ADCB=又AE=AP=AF，A为EF的中点同理有C为GH的中点即AF=CG，且AFCG，如图2，连接AC，四边形ACGF为平行四边形，得FG=AC=BD【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等7（2015平顶山二模）（1）操作发现：如图，在RtABC中，C=2B=90，点D是BC上一点，沿AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处请写出AB、AC、CD之间的关系AB=AC+CD；（2）问题解决：如图，若（1）中C90，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；（3）类比探究：如图，在四边形ABCD中，B=120，D=90，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长【分析】（1）如图，设CD=t，由C=2B=90易得ABC为等腰直角三角形，则AC=BC，AB=AC，再根据折叠的性质得DC=DE，AED=C=90，又可判断BDE为等腰直角三角形，所以BD=DE，则BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=（+1）t=（2+）t，从而得到AB=AC+CD；（2）如图，根据折叠的性质得DC=DE，AED=C，AE=AC，而C=2B，则AED=2B，根据三角形外角性质得AED=B+BDE，所以B=BDE，则EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BHAC于H，如图，设DE=x，利用（1）的结论得AC=（2+）x，根据等腰三角形的性质由BA=BC，CBA=120得到BCA=BAC=30，且CH=AH=AC=x，在RtBCH中，利用30度的余弦得cos30=，即x=（2+2），然后解方程求出x即可【解答】解：（1）如图，设CD=t，C=2B=90，B=45，BAC=45，ABC为等腰直角三角形，AC=BC，AB=AC，AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，DC=DE，AED=C=90，BDE为等腰直角三角形，BD=DE，BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=（+1）t=（2+）t，AB=AC+CD；故答案为AB=AC+CD；（2）AB=AC+CD理由如下：如图，AD折叠ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，DC=DE，AED=C，AE=AC，C=2B，AED=2B，而AED=B+BDE，B=BDE，EB=ED，ED=CD，AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BHAC于H，如图，设DE=x，由（1）的结论得AC=（2+）x，BA=BC，CBA=120，BCA=BAC=30，BHAC，CH=AH=AC=x，在RtBCH中，cos30=，x=（2+2），解得x=，即DE的长为【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形8（2015潍坊校级一模）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）求证：AP+HC=PH；（3）当AP=1时，求PH的长【分析】（1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案；（2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出AP+HC=PH；（3）设QH=HC=x，则DH=4x在RtPDH中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可【解答】（1）证明：PE=BE，EPB=EBP，又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP即BPH=PBC又四边形ABCD为正方形ADBC，APB=PBCAPB=BPH（2）证明：过B作BQPH，垂足为Q，由（1）知，APB=BPH，在ABP与QBP中，ABPQBP（AAS），AP=QP，BA=BQ又AB=BC，BC=BQ又C=BQH=90，BCH和BQH是直角三角形，在RtBCH与RtBQH中，RtBCHRtBQH（HL），CH=QH，AP+HC=PH（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，PD=3设QH=HC=x，则DH=4x在RtPDH中，PD2+DH2=PH2，即32+（4x）2=（x+1）2，解得x=2.4，PH=3.4【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键9（2015江西样卷）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x（1）当BF的最小值等于6时，才能使点B落在AD上一点E处；（2）当点F与点C重合时，求AE的长；（3）当AE=3时，点F离点B有多远？【分析】（1）当点G与点A重合时，BF的值最小，即可求出BF的最小值等于6；（2）在RTCDE中运用勾股定理求出DE，再利用AE=ADDE即可求出答案；（3）作FHAD于点H，设AG=x，利用勾股定理可先求出AG，可得EG，利用AEGHFE，由=可求出EF，即得出BF的值【解答】解：（1）点G与点A重合时，如图1所示，四边形ABFE是正方形，此时BF的值最小，即BF=AB=6当BF的最小值等于6时，才能使B点落在AD上一点E处；故答案为：6（2）如图2所示，在RtCDE中，CE=BC=10，CD=6，DE=8，AE=ADDE=108=2，（3）如图3所示，作FHAD于点H，AE=3，设AG=y，则BG=EG=6y，根据勾股定理得：（6y）2=y2+9，解得：y=，EG=BG=，又AEGHFE，=，EF=，BF=EF=【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等10（2015秋苍溪县期末）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求ADE的周长【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可【解答】解：BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，DE=CD，BE=BC，AB=8cm，BC=6cm，AE=ABBE=ABBC=86=2cm，ADE的周长=AD+DE+AE，=AD+CD+AE，=AC+AE，=5+2，=7cm【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键11（2015春无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15大小的角呢？【实践操作】如图第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到ADEFBC第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM折痕BM 与折痕EF相交于点P连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN【问题解决】（1）求NBC的度数；（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除NBC的度数以外）（3）你能继续折出15大小的角了吗？说说你是怎么做的【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到点P为BM的中点，即BP=PM，再根据矩形性质得BAM=90，ABC=90，则根据直角三角形斜边上的中线性质得PA=PB=PM，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM折痕BM得到PA=PB=PM=PN，1=2，BNM=BAM=90，利用等要三角形的性质得2=4，利用平行线的性质由EFBC得到4=3，则2=3，易得1=2=3=ABC=30；（2）利用互余得到BMN=60，根据折叠性质易得AMN=120；（3）把30度的角对折即可【解答】解：（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，点P为BM的中点，即BP=PM，四边形ABCD为矩形，BAM=90，ABC=90，PA=PB=PM，折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM折痕BM，PA=PB=PM=PN，1=2，BNM=BAM=90，2=4，EFBC，4=3，2=3，1=2=3=ABC=30，即NBC=30；（2）通过以上折纸操作，还得到了BMN=60，AMN=120等；（3）折叠纸片，使点A落在BM上，则可得到15的角【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质12（2015春大同期末）已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F分别把RtBAE和RtDCF沿 BE，DF折叠成如图所示位置（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求AE的长（2）若折叠后点A和点C恰好落在对角线BD上，求AE的长【分析】（1）由矩形的性质得出A=90，设AE=xcm，则ED=（4x）cm，由菱形的性质得出EB=ED=4x，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由勾股定理求出BD，由折叠的性质得出AE=AE，EAB=A=90，AB=AB=3cm，求出AD，设AE=AE=x，则ED=（4x）cm，在RtEAD中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，A=90，设AE=xcm，则ED=（4x）cm，四边形EBFD是菱形，EB=ED=4x，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，即32+x2=（4x）2，解得：x=，AE=cm；（2）根据勾股定理得：BD=5cm，由折叠的性质得：AE=AE，EAB=A=90，AB=AB=3cm，EAD=90，AD=53=2（cm），设AE=AE=x，则ED=（4x）cm，在RtEAD中，AE2+AD2=ED2，即x2+22=（4x）2，解得：x=，AE=cm【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键13（2015春廊坊期末）如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）GF=FD：（直接填写=、）（2）判断CEF的形状，并说明理由；（3）小明通过此操作有以下两个结论：四边形EBCF的面积为4cm2整个着色部分的面积为5.5cm2运用所学知识，请论证小明的结论是否正确【分析】（1）根据翻折的性质解答；（2）根据两直线平行，内错角相等可得AEF=CFE，再根据翻折的性质可得AEF=FEC，从而得到CFE=FEC，根据等角对等边可得CE=CF，从而得解；（3）根据翻折的性质可得AE=EC，然后求出AE=CF，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；设GF=x，表示出CF，然后在RtCFG中，利用勾股定理列式求出GF，根据三角形的面积公式求出SGFC，然后计算即可得解【解答】解：（1）由翻折的性质，GD=FD；（2）CEF是等腰三角形矩形ABCD，ABCD，AEF=CFE，由翻折的性质，AEF=FEC，CFE=FEC，CF=CE，故CEF为等腰三角形；（3）由翻折的性质，AE=EC，EC=CF，AE=CF，S四边形EBCF=（EB+CF）BC=ABBC=42=4cm2；设GF=x，则CF=4x，G=90，x2+22=（4x）2，解得x=1.5，SGFC=1.52=1.5，S着色部分=1.5+4=5.5；综上所述，小明的结论正确【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键14（2015春娄底期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；（2）把A折向MN，得RtAEB；（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到EBF探究：EBF的形状，并说明理由【分析】由（1）得出M、N分别是AB、DC的中点，由（2）得出BE=2AP，再由（3）得出BF=2AP，证出BE=BF，因此1=2，由角的关系求出1=60，即可证出EBF为等边三角形【解答】解：EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是AB、DC的中点，在RtABE中，P为BE的中点，AP是斜边上的中线，AP=BP=BE，即BE=2AP，在EBF中，A是EF的中点，AP=BF，即BF=2AP，BE=BF，1=2，又2=3，21+3=180，31=180，1=60，EBF为等边三角形【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键15（2015秋兴化市校级期末）（1）如图1，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，若A=40，求1+2的度数；（2）通过（1）的计算你发现1+2与A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；（3）将图1中ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠 如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中+=180；1+2+3+4+5+6=360； 如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则中的关于“1+2+3+4+5+6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由【分析】（1）根据将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，若A=40，可以求得AED+ADE=AED+ADE，进而可以求得1+2的度数；（2）先写出数量关系，然后说明理由，将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，可以得到折叠后的各个角的关系，从而可以解答本题；（3）根据第二问的推导，可以进行这一问结论的推导，从而可以解答本题【解答】解：（1）A=40，AED+ADE=AED+ADE=140，1+2=360（AED+ADE）（AED+ADE）=80，即1+2的度数是80；（2）1+2=2A，理由：将ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位置，AED+ADE=AED+ADE，A=A，1+2=360（AED+ADE）（AED+ADE）=360（180A）（180A）=360180+A180+A=2A，即1+2=2A；（3）由题意可得，+=360180=180，1+2+3+4+5+6=2A+2B+2C=2（A+B+C）=2180=360，故答案为：180，360；如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则中的关于“1+2+3+4+5+6”的结论仍然成立；理由：1+2=2A，3+4=2B，5+6=2C，1+2+3+4+5+6=2A+2B+2C=2（A+B+C）=360，即如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则中的关于“1+2+3+4+5+6”的结论仍然成立【点评】本题考查翻折问题、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件16（2015秋海珠区期末）如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将BEF对折，点B落在直线EF上的B处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A处，得到折痕EN（1）若BEB=110，则BEC=55，AEN=35，BEC+AEN=90（2）若BEB=m，则（1）中BEC+AEN的值是否