连续时间信号与系统的频域分析

第3章 连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求1、掌握周期信号的频谱及其特点；2、了解周期信号的响应问题；3、掌握非周期信号的频域描述傅立叶变换；4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用；5、掌握系统的频域特性及响应问题；6、了解系统的无失真传输和理想滤波。3.2 本章重点1、频谱的概念及其特性；2、傅里叶变换及其基本性质；3、响应的频域分析方法；4、系统频率响应的概念。3.3 知识结构3.4内容摘要3.4.1信号的正交分解两个矢量和正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：若有一个定义在区间的实函数集，在该集合中所有的函数满足则称这个函数集为区间上的正交函数集。式中为常数，当时，称此函数集为归一化正交函数集。若实函数集是区间内的正交函数集，且除之外中不存在满足下式且则称函数集为完备正交函数集。若在区间上找到了一个完备正交函数集，那么，在此区间的信号可以精确地用它们的线性组合来表示各分量的标量系数为系数只与和有关，而且可以互相独立求取。3.4.2周期信号的傅里叶级数1、三角形式的傅里叶级数式中， 若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：式中，。在信号与系统中，定义：为直流信号，为基数，为基波，为n次谐波。各参数、以及都是（谐波序号）的函数，也可以说是（谐波频率）的函数。如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出和等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。2、指数形式的傅里叶级数式中3、周期信号的功率谱上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。通常将随分布的特性称为周期信号的功率谱。4、傅立叶级数系数与函数对称性的关系对于偶函数，满足，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。复振幅是实数，其初相位为零或。对于奇函数，满足，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。复振幅是虚数，其初相位为或。对于奇谐函数，满足，当为偶数时，；当为奇数时，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。5、周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即。式中，。研究表明，越大，越小，当时，。6、周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而减小，当时，。3.4.3非周期信号的傅里叶变换1、傅里叶变换定义傅里叶变换： 傅里叶逆变换： 一般为复函数，可写成，其中，为幅度频谱，为相位频谱。2、典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.4.1所示。表3.4.1 常用信号的傅里叶变换序号名称时间表示式傅里叶变换矩形脉冲信号单边指数信号，双边指数信号三角脉冲信号抽样脉冲信号钟形脉冲信号余弦脉冲信号升余弦脉冲信号符号函数单位冲激函数1直流信号1单位阶跃函数冲激偶信号单位斜变信号3.4.4连续时间信号傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换的性质如表3.4.2所示。.表3.4.2 傅里叶变换性质序号性质名称时域频域1线性性质2尺度变换特性，3奇偶虚实性为实函数，为虚函数4时移特性5频移特性6对偶性7时域微分特性8时域积分特性9频域微分特性10频域积分特性11时域卷积特性12频域卷积特性13帕塞瓦尔定理3.4.5周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱3.3.6 调制与解调幅度调制的过程：设载波信号为，调制信号为，二者的傅里叶变换分别为和。已调信号为，其频谱为这样，信号的频谱被搬移到载频附近。解调及解调的过程：由已调信号恢复原始信号的过程称为解调。选用与载波信号相同的本地载波信号与接收到的已调信号相乘，有，其频谱为利用一个低通滤波器可以取出。3.4.7线性时不变系统的频域分析法频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱通过系统后，输出信号频谱随频率变化的情况。1、系统的频率响应函数对于一个线性时不变系统，零状态响应等于激励与系统单位冲激响应的卷积，即。根据卷积定理，有，其中，表征的是系统频域特性，称为系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数，定义为 即系统函数是系统零状态响应的傅里叶变换与激励信号傅里叶变换之比。式中，是系统的幅（模）频特性，是系统的相频特性。2、系统的频域分析用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为：第一步，求激励信号的傅里叶变换；第二步，求系统的频率响应函数；第三步，求零状态响应的傅里叶变换；第四步，求的傅立叶逆变换，即可得到。3.4.8 无失真传输无失真：响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。无失真传输条件：，其中，为常数，为延迟时间。无失真传输对的要求： ，即在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅频特性为与频率无关的常数。相频特性与成正比，是一条过原点的负斜率直线，或者说，系统的群延时为常数。3.4.9理想低通滤波器 理想低通滤波器是将滤波网通的某些特性理想化的结果。实际上，理想低通滤波器是不能用电路来实现的。设滤波器的系统函数为。理想低通滤波器的频率响应理想低通滤波器的单位冲激响应理想低通滤波器的单位阶跃响应其中为正弦积分函数.3.4.10佩利-维纳准则和实际滤波器物理可实现系统需满足因果条件：佩利-维纳准则：对于幅度函数为，物理可实现的必要条件为且不满足此准则的幅度函数，该网络的单位冲激响应就是无因果的，即响应先于冲激出现。佩利-维纳准则仅为必要条件，不是充分条件。系统可实现性的本质是因果性。对于物理可实现系统，可以允许在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。按此原理，理想滤波器都是物理不可实现的。对于无失真系统，由于，因而也是物理不可实现的。3.5典型例题例1、已知信号的傅里叶变换，则为（ ）（a） (b) (c) (d)答案：(a) 分析：根据傅里叶变换的对称性再根据频移性质得 例2、有一因果线性时不变系统，其频率响应，对于某一输入所得输出信号的傅里叶变换为，则该输入为（ ）(a) (b) (c) (d)答案：(b)分析：根据频域分析法可得所以例3、如果两个信号分别通过系统函数为的系统后，得到相同的响应，那么这两个信号（）(a)一定相同 (b)一定不同 (c)只能为零 (d)可以不同答案：(d)分析：系统的输入只影响系统的零状态响应，对于零输入响应应由系统状态决定，本题如果指名状态相同或者响应为零状态响应，那么答案就是(a)。例4、设：，则为( )。(a) (b)(c) (d) 答案：(c)分析：由于，根据时移性质。这里一定注意要把当作一个整体，时移也要包括例5、若，而，那么（ ）。 (a) (b) (c) (d) 答案：(d)分析：根据傅里叶变换的尺度和时移性质即可得出正确答案。先考虑尺度性质，再应用时移性质也可先考虑时移性质再考虑尺度性质例6、连续周期信号f（t）的频谱的特点是( ) (a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱； (c) 连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。答案：(d)例7、的傅里叶变换为 答案： 分析：该题为典型信号的调制形式例8、的傅里叶变换为 答案：分析：根据时移和频移性质即可获得图3.5.1例9、已知信号如图3.5.1所示，且其傅里叶变换为，试确定：图3.5.2(1) (2) (3) 解：(1) 将向左平移一个单位得到，如图3.5.2所示。由图形可以看出是个实偶函数，对应的F 也是实偶函数。又因为可以看成是两个同样的窗函数卷积得到，所以是一个抽样函数的平方，是非负的，因此得相位。根据傅里叶变换的时移特性可得 (2) (3) 令，则对应的傅里叶反变换所以3.6习题全解3.1 证明函数集在区间内是正交函数集。 证明: 对任意的自然数，有 3.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。（2）是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算）（3）现在考虑一个新的信号：，请问，频谱如何变化？是周期信号吗？如果是，周期是什么？解：（1）频谱图如题图3.2所示。(a) 振幅图 (b) 相位图题图3.2（2）三项都是周期信号，周期分别为、，所以是周期信号，周期为为、的最小公倍数为。（3）根据频谱的分析比多了一个频谱分量，频率为，所以还是周期信号，周期为和的最小公倍数。3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。（1）； （2）；（3）；（4）是周期为2的周期信号，且；（5），如题图3.3所示，题图3.3 （6）是周期为4的周期信号，且（7）解（1）该信号为虚指数信号，本身就是指数级数，频，周期，三角级数为；（2）基频，周期三角级数：指数级数：（3）本身为三角级数，基频，周期，指数级数为（4）周期T=2；基频，三角级数：指数级数：（5）由题图3.3可知，周期T=2；基频，且该信号为奇信号，所以，。三角级数：指数级数：（6）周期T=4；基频，0三角级数：指数级数： （7） 三角级数：，其他系数为0指数级数：x(t)=3.4 给定周期方波如题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。题图3.4 解：（1）（2）3.5、求题图3.5所示各周期信号的傅里叶系数，并画出其频谱图。-2-4240(a)x1(t)1-131(b)0x2(t)T-TE2Tt题图3.5解：（a） 频谱图如题图3.5-1所示。题图3.5-1（b） 频谱图如题图3.5-2所示（a）幅度谱图（b）相位谱题图3.5-2 3.6 考虑信号，由于是周期的，其基波周期为1，因此它也是以为周期的，这里为任意正整数。如果我们把它看作是周期为3的周期信号，那么的傅里叶级数的系数是什么？解： 当的周期为1时，基频为，考虑周期为3时，则基频为，所以为其三次谐波，所以：。3.7 若和是基波周期为的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示式分别为：。证明信号也是基波周期为的周期信号，且其表示式为式中，。证明：令，则3.8 设周期信号的指数型傅里叶级数系数为，试证明的指数型傅里叶级数系数为（式中）。证明: 由题知, （式中） 两边对t求导，得 显然，的指数傅里叶级数为 （式中）。3.9 求题图3.9所示各信号的傅里叶变换。x2(t)t0ET(b)x1(t)t01t(a)题图3.9解：根据傅里叶变换的定义3.10 计算下列每个信号的傅里叶变换。（1）； （2）；（3）； （4）（5）； （6）解: (1) 因为，而，根据傅里叶变换的频移特性，有(2) (3) 因为 ，所以，而 ，根据卷积乘积性质，得(4) 由于 ，所以 （5）,设，根据对称性，有，所以，因此 （6） 由于 ,根据积分性质，有3.11 先求出如题图3.11所示信号的频谱的具体形式，再利用傅里叶变换的性质由求出其余信号的频谱的具体形式。题图3.11解：根据定义：因为，根据傅里叶变换的时移性质,所以因为，根据傅里叶变换的尺度性质,所以因为，根据傅里叶变换的尺度性质,所以因为，根据傅里叶变换的时移和尺度变换性质，所以因为，根据傅里叶变换的时移性质,所以因为，根据傅里叶变换的时移性质,所以3.12 利用傅里叶变换的微积分性质求题图3.12所示信号的频谱。（a） （b）题图3.12解：令傅里叶变换对，（1）根据题图（a）可知：因为，根据傅里叶变换的积分性质（2）两边同时取傅里叶变换，由微分定理，有于是3.13利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。(1)； (2)；解：（1）根据傅里叶变换的对称性，有 ，所以因此（2）因为根据傅里叶变换的对称性3.14 若已知，求下列各信号的频谱。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1）根据频域微分性质，有再根据尺度性质，有所以（2）根据频域微分性质，有再根据时移性质，有（3）根据尺度性质，有再根据频域微分性质，有即所以 （4）根据时域微分性质，有再根据频域微分性质，有所以（5）根据尺度性质，有再根据时移性质，有（6）根据频域微分性质，有再根据尺度性质，有再根据时移性质，有（7）根据尺度性质，有再根据时移性质，有（8）由于，根据频移性质，有3.15已知实信号，设，且，其中和分别为的偶分量和奇分量。证明：证明：因为，根据尺度特性，有再根据线性性质3.16 已知，求的频谱。解：根据尺度性质，有再根据时移性质，有根据积分性质3.17 利用频域卷积定理求下列信号的频谱函数。解：（1）因为，根据频域卷积定理得（2）因为，根据频域卷积定理得题图3.183.18 已知题图3.18中两矩形脉冲信号和，且，（1）画出的图形；（2）求的频谱。解：由图可知(1) 两个不同宽度的矩形信号的卷积应为对称梯形信号，结果如题图3.18-1所示。(2) 根据时域卷积定理，得的频谱x(t)t02121题图3.193.19 试求题图3.19所示信号的频谱函数。解： =3.20 设代表题图3.20所示信号的傅里叶变换。题图3.20（1）求的相频特性；（2）求；（3）计算；（4）计算；（5）画出的傅里叶逆变换。图3.20-1解：（1），如题图3.20-1所示，为实偶信号，所以也是实偶函数，的相位只有0和两种情况。因为，所以（2）（3）因为，所以（4）设，则。，则。（5）因为，根据傅里叶变换的性质，有图形如3.20-2所示。图3.20-23.21 用傅里叶变换法求题图3.21所示周期信号的傅里叶级数。题图3.21解: 对x(t)一个周期信号x0(t)的傅里叶变换为 =所以傅里叶级数的系数为 3.22求题图3.22所示周期性冲激信号的频谱函数。题图3.22解：根据图形可知，信号的周期为T，基频，所以频谱图如题图3.22-1所示。图3.22-13.23 已知的幅频与相频特性如题图3.23所示，求其傅里叶逆变换。题图3.23解：根据题图可知可分两部分组成，即，其中所以，因此，所以3.24下面是一些连续时间信号的傅里叶变换，确定每个变换所对应的连续时间信号。（1）（2）（3）（为阶跃信号）（4）解：（1）因为，所以；（2）因为，所以（3）因为，利用傅里叶变换的对称性，有（4）由题可知，则利用（3）题的结果，其傅里叶反变换为再利用频域积分性质，有3.25 求下列函数的傅里叶逆变换。（1） （2）解：（1）已知，而，所以即（2）将（1）题中的2改为0，即可得到结果，即3.26设和，若通过一个截止频率为，通带增益为2的理想低通滤波器，试求该低通滤波器输出端所得到的信号。解:设其傅里叶变换为而 让其