【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学

【多元函数微分学自测题答案】多元函数微分学 第八章 多元函数的微分学 本章知识结构导图 一、基础题 1、求两点M 1(2,-1,3) 和M 2(-3,2,1) 之间的距离. 2、 求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形. (1) z =z =ln(x +y ) 【解】 (1)要使函数z =必须有1-x 2-y 20，即有x 2+y 21. 故所求函数的定义域为D =(x , y ) |x 2+y 21, 图形为图7.3. (2)要使函数z =ln(x +y ) 有意义，必须有x +y 0. 故所有函数的定义域为 D =(x , y ) |x +y 0，图形为图7.4. 图 7.3 图7.4 （3）、求函数z = 22 的定义域，并画出其定义域图形 解 要使函数表达式有意义，自变量x , y 必须同时满足条件 ?1-x 2-y 20, ?x 2+y 2 即 ? ?22 ?y -x 0, ?y x . 于是所求定义域为D=(x,y)| x2+y2x2 (图71) 说明： 求二元函数定义域的方法与求一元函数定义域的方法类似，自变量的取 值要使解析式有意义，主要限制式函数分母不能为零，对数函数零，偶次根式被开方式非负，及等的限制条件在画定义域图形不等式写成等式，作出相应边界 o y 条件是分 y =x 2x 2+y 2=1 x 真数大于三角函数时，要先将曲线图形， 图71 然后确定满足不等式的点(x , y ) 位于边界曲线的哪一侧，如果某个不等式是严格不等式，则相应边界曲线画成虚线，各不等式限定区域的公共部分就是定义域图形 3、. 已知f (x , y ) =x 2y ，求f (x +y , x -y ) . 二、计算题 1、设z =x 3-2x 2y +3y 4，求 ?z ?z ?z ?z ，和 ?y ?x ?y ?x (1,1) (1, -1) 【解】对x 求偏导数，就是把y 看作常量对x 求导数， 对y 求偏导数，就是把x 看作常量对y 求导数， ?z ?z =-2x 2+12y 33x 2-4xy x =1=-1； ?y (1, -1)?x (1,1)y =1 ?z =3x 2-4xy ； ?x ?z =-2x 2+12y 3； ?y x =1y =-1 =-14 2、z =e x sin xy , 求 【解】 ?u ?u , . ?x ?y ?z =e x sin xy +e x cos xy ?y =e x (sinxy +y cos xy ) , ?x ?z =e x cos xy ?x , ?y 3、设f (x , y ) =(1+xy ) y ln(1+x 2+y 2) ，求f x /(1, 0) . 【解】 如果先求偏导数f x (x , y ) ，再求f x (1, 0) 显然比较繁杂，可以先求一元函数f (x , 0) ，再求导数f x (x , 0) . 因f (x , 0) =ln(1+x 2) ，所以f x (x , 0) = 2x . 故f x (1, 0) =1. 2 1+x 4、求函数z =x 3y 2-3xy 3-xy +1的二阶偏导数 【解】 因为函数的一阶偏导数为 ?z ?z =3x 2y 2-3y 3-y , =2x 3y -9xy 2-x ， ?x ?y 所以所求二阶偏导数为 ?2z ?z ? = ?=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6xy 2， 2?x ?x ?x ?x ?2z ?z ? = ?=(3x 2y 2-3y 3-y ) =6x 2y -9y 2-1， ?x ?y ?y ?x ?y ?2z ?z ? = ?=(2x 3y -9xy 2-x ) =6x 2y -9y 2-1， ?y ?x ?x ?y ?x ?2z ?z ? = ?=(2x 3y -9xy 2-x ) =2x 3-18xy . 2?y ?y ?y ?y 5、 求函数z =sin(x +y 2) 的全微分. 【解】 因为所以 dz = ?z ?z =cos(x +y 2) ，=2y cos(x +y 2) , ?x ?y ?z ?z dx +dy =cos(x +y 2) dx +2y cos(x +y 2) dy . ?x ?y 6、 设z =u 2ln v ，期中 u = ，v =2x -y ，求 x y ?z ?z 和 ?x ?y ?z ?z ?u ?z ?v 1u 22x 2x 2 【解】=， +=2u ln v ?+?2=2ln (2x -y ) +2 ?x ?u ?x ?v ?x y v y y (2x -y ) ?z ?z ?u ?z ?v x u 22x 2x 2 =+=2u ln v ?(-2) +?(-1) =-3ln (2x -y ) -2. ?y ?u ?y ?v ?y y v y y (2x -y ) 7、 设u =f (x , y , z ) =e x 2+y 2+z 2 2 , z =x sin y , 求 ?u ?x 和 ?u . ?y ?u ?u ?u ?z 22x 2+y 2+x 4sin 2y =+=2xu +2zu ?2x sin y =2x (1+2x sin y ) e 【解】, ?x ?x ?z ?x 2242?u ?u ?u ?z =+?=2yu +2zu ?x 2cos y =2(y +x 4sin y cos y ) e x +y +x sin y . ?y ?y ?z ?y 8、 设w =f (x +yz , xyz ) ，求 ?w ?w 和. ?x ?y 【解】 令u =x +yz ，v =xyz ， 则w =f (u , v ) ，于是 ?w ?f ?u ?f ?v ?f ?f =?+?=+?yz , ?x ?u ?x ?v ?x ?u ?v ?f ?w ?f ?u ?f ?v ?f =?z +?xz =?+? ?v ?y ?u ?y ?v ?y ?u 9、设方程z x =y z ， 确定函数z =z (x , y ), 求?z ?z ?x , ?y x z F (x , y , z ) =z -y 解 方法一(公式法) 令 ，则 F x =z ln z ， F =-zy y x z -1 ，F z =xz x -1-y z ln y ， z ln z F x ?z z x ln z 所以 =-=z = x -1 z ln y -x ?x F z y ln y -xz F y z 2?z zy z -1 = =-=x -1 z y (x -z ln y ) ?y F z xz -y ln y 10、 求函数 f (x , y ) =x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值. ?f x =3x 2+6x -9=0? 【解】 令 ?，得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) 2 f =-3y +6y =0 ?y A =f xx =6x +6, B =f xy =0, C =f yy =-6y +6, 得B 2-AC =36(x +1)(y -1) . 列表如下： 故在点（1，0）处函数取得极小值f (1, 0) =-5；在点（-3，2）处函数取得极大值 f (-3, 2) =31. 11、 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 的甲与生产y 单位的产品乙的总费用是 400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2) 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？ 【解】 L (x , y ) 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有 利润目标函数L (x , y ) =(10x +9y ) -400+2x +3y +0. 01(3x 2+xy +3y 2) =8x +6y -0. 01(3x 2+xy +3y 2) -400, (x 0, y 0) ，