大一高数上__第三章VIP

.,第三章微分中值定理与导数的应用,.,一、罗尔(Rolle)定理,定理(Rolle),若函数f(x)满足,（1）在闭区间a,b上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b),例如,3.1微分中值定理,.,几何解释:,若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，,.,注,Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；,这三个条件只是充分条件，而非必要条件,如：y=x2在-1,2上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使,但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。,例如,.,又例如,在0,1上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,再例如,在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；,.,另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，,如,在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而,但却不易找到使,但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.,.,例1不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判断方程f(x)=0有几个实根，以及其所在范围。解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点x1，使f(x1)=0，x1是f(x)=0的一个实根。在(2,3)内至少存在一点x2，使f(x2)=0，x2也是f(x)=0的一个实根。f(x)=0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1,2)及(2,3)内。,.,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,.,几何解释:,.,推论如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。,证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得f(x2)f(x1)f(x)(x2x1)(x1xx2)。由假定，f(x)0，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)。因此f(x)在区间I上是一个常数。,.,证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有f(x)f(0)f(x)(x0)，0xx。,又由01时，f(x)0，所以f(x)在1,)上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)=0，即,.,三、曲线的凹凸性与拐点,定义:若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。,图形上任意弧段（）位于所张弦的上方。,图形上任意弧段（）位于所张弦的下方。,问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,的中点,的中点,.,定义,.,四、曲线凹凸的判定,定理1,.,例6,解,注意到,.,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,.,例8,解,.,凹凸与拐点的判定步骤,.,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,.,第五节函数的极值与最大值最小值,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,.,一、函数极值的定义,.,设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0(a,b),f(a)和f(b)是否为极值？,个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点,极值的定义：,二、函数的极值,.,取得极值的必要条件：,观察极值与切线的关系：,在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的,.,定理1（必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f(x0)0,驻点：使导数为零的点(即方程f(x)0的实根)叫函数f(x)的驻点,应注意的问题：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点,.,观察函数f(x)x在x0处的导数与极值情况,在x=0处，f(0)0.,但函数在x=0无极值,.,定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连续，在x0的左右邻域内可导(1)如果在x0的某一左邻域内f(x)0，在x0的某一右邻域内f(x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果在x0的左右邻域内f(x)不改变符号，那么函数f(x)在x0处没有极值,取得极值的第一充分条件：,.,取得极值的第一充分条件的几何意义：,f(x)0,f(x)0,f(x)0f1(0)为极小值,f2(x)3x2，f2(0)0，,f2(x)6x，f2(0)0,f2(x)0，f2(0)不是极值,.,(2)令f(x)0，求得驻点x11，x20，x31(3)f(x)6(x21)(5x21)(4)因f(0)60，所以x0为极小值点，极小值为f(0)0(5)因f(1)f(1)0，用定理3无法判别,例3求函数f(x)(x21)31的极值,解法一,(1)f(x)6x(x21)2,同理，f(x)在1处也没有极值,因为在1的左右邻域内f(x)0，,y=f(x),函数单调增加,f(x)0，,复习：,3.6与函数图像的描绘,.,函数单调减少,曲线是凹的,y=f(x),f(x)0，,y=f(x),函数单调减少,曲线是凸的,f(x)0，,f(x)0，相反时s0,显然弧s是x的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函数,一、弧微分,.,设x,x+Dx为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx，弧s的增量为Ds，于是,下面来求s(x)的导数及微分,.,1，,因为,因此,由于ss(x)是单调增加函数，从而,于是,ds,弧微分公式,.,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),弧段弯曲程度越大转角越大,转角相同弧段越短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),)j,M1,M2,N1,N2,.,设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M到点M的弧为Ds，切线的转角为Da,平均曲率：,曲率：,.,曲率的计算公式：,设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数,于是,从而，有,因为tanay，所以,.,注意,(1)直线的曲率,(2)圆上各点处的曲率,直线的曲率处处为零;,圆上各点处的曲率等于半径的倒数.,圆的半径越小曲率越大.,.,例1计算等边双曲线xy1在点(1，1)处的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲线xy1在点(1，1)处的曲率为,.,例2抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？,解由yax2bxc，得y2axb，y2a，,代入曲率公式，得,要使K最大，只须2axb0，,抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为K|2a|,对应的点为,.,曲线在点M处的曲率K(K0)与曲线在点M处的曲率半径r有如下关系：,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y=f(x),D,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,.,定义,.,例3设工件表面的截线为抛