关于圆的动点问题常见解决方案[例谈圆中常见两解问题]

关于圆的动点问题常见解决方案例谈圆中常见两解问题 由于圆具有对称性，以及点、弦、角等元素在圆中位置的相对性.因此，在解答没有给出图形的圆的有关计算题时，就要仔细审题，周密思考，以防漏解. 一、有关点与圆的位置关系问题 例1:点P到O的最大距离是8cm，最小距离是4cm，则O的半径是. 分析:题中并没有说明点P与圆的位置关系，故需分点P在圆内与点P在圆外两种情况求解. （如图1）当点P在圆内时，由已知，得PA=4, PB=8. （如图2）当点P在圆外时，由已知，得PA=4,PB=8. 综上所述，O的半径为6cm或2cm. 二、有关平行弦问题 例2:已知四边形ABCD是O的内接梯形，ABCD，AB=8，CD=6.O的半径等于5，求梯形ABCD的高. 分析:求圆内接梯形的高就是求圆中两条平行弦间的距离. （如图3）当AB、CD在圆心的两侧时，过圆心O作EFAB于E，交CD于F. ABCD，EFCD. 连结OA、OD，则OAE、ODF都是直角三角形. 梯形的高EFOE+OF=3+4=7. （如图4）当AB、CD在圆心O的同侧时，作OFCD于F，交AB于E，连结OA、OD. 同理，求得OE3，OF4. 梯形的高EFOFOE4-31. 综上所述，O的内接梯形ABCD的高为7或1. 三、有关公共弦问题 例3:O1和O2相交于A、B两点，它们的半径AO1=20，AO2=15，公共弦AB24，则AO1O2的周长 为 . 分析:因为已知两圆的半径不等，所以，圆心可能在公共弦AB的两侧（如图5），也可能在AB的同侧（如图6）. 分别在RtAO1C和RtAO2C中，由勾股定理求得O1C=16,O2C=9. O1O2=16+9=25. AO1O2的周长为20+15+2560. 在图6中，同理求得O1C=16,O2C=9. O1O2=169=7. AO1O2的周长为20+15+742. 综上所述，AO1O2的周长为60或42. 四、有关两条弦的夹角问题 分析：连结OA，则弦AC、AD可能在半径OA的两侧（如图7），也可能在OA的同侧（如图8）. 在图7中，连结OC. OAD=30. CAD=CAO+OAD=45+3075. 在图8中，同理求得OAD=30，OAC45. CAD=OACOAD45-3015. 综上所述，CAD等于75或15. 五、有关圆周角问题 例5 ：PA、PB是O的切线，A、B是切点，APB78，点C是O上异于A、B的任意一点，则ACB=. 分析：如图9，因为C是O上异于A、B的任意一点，所以点C可能在优弧AB上，也可能在劣弧 AB上. 当点C在优弧AB上时，连结OA、OB,则OAPA，OBPB. 又APB78， AOB360-90-90-78102. 当点C在劣弧AB上时，四边形ACBC是圆内接四边形. ACB=180-ACB180-51129. 综上所述，ACB等于51或129. 六、有关圆的相切问题 例6：以O为圆心的两个同心圆的半径分别9cm和5cm,若A与这两个圆都相切，则A的半径 为 . 分析：因为相切分内切和外切两种，所以A可能与大圆内切，与小圆外切（如图10），也可能与两