初等因子的PPT课件

-,1,7.2矩阵的标准形,7.3不变因子,7.1矩阵及其初等变换,7.4矩阵相似的判定,7.6若尔当(Jordan)标准形,7.5初等因子,第七章矩阵,7.7最小多项式,-,2,一、矩阵的概念,二、矩阵的秩,7.1矩阵及其初等变换,三、可逆矩阵,-,3,定义：,若矩阵A的元素是的多项式，即的元素，则,设P是一个数域，是一个文字，是多项式环，,称A为矩阵，并把A写成,一、矩阵的概念,注：,数域P上的矩阵数字矩阵也,是矩阵.,-,4,其定义与运算规律与数字矩阵相同.,对于的矩阵，同样有行列式,它是一个的多项式，且有,这里为同级矩阵.,与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念.,矩阵的各级子式是的多项式.,矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，,-,5,若矩阵中有一个级子式不为零，,而所有级的子式（若有的话）皆为零，则称,的秩为r.,二、矩阵的秩,定义：,零矩阵的秩规定为0.,-,6,三、可逆矩阵,一个的矩阵称为可逆的，如果有一,一个的矩阵，使,定义：,这里E是n级单位矩阵.,称为的逆矩阵(它是唯一的)，记作,-,7,（定理1）一个的矩阵可逆,是一个非零常数.,证:“”,若可逆，则有，使,两边取行列式，得,都是零次多项式，即为非零常数.,判定：,-,8,“”,设是一个非零常数.,为的伴随矩阵，则,可逆.,-,9,一、矩阵的初等变换,二、矩阵的初等矩阵,7.2矩阵的标准形,三、等价矩阵,四、矩阵的对角化,-,10,矩阵的初等变换是指下面三种变换:,矩阵两行（列）互换位置；,矩阵的某一行（列）乘以非零常数c；,是一个多项式.,矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，,一、矩阵的初等变换,定义：,-,11,代表第行乘以非零数c；,代表把第行(列)的倍加到第,为了书写的方便，我们采用以下记号,代表两行(列)互换；,注：,行(列).,-,12,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为矩阵的初等矩阵.,二、矩阵的初等矩阵,定义：,注：,全部初等矩阵有三类：,-,13,i行,-,14,初等矩阵皆可逆.,对一个的矩阵作一次初等行变换,就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩,阵；对作一次初等列变换就相当于在的右,边乘上相应的的初等矩阵.,-,15,为矩阵，则称与等价.,矩阵若能经过一系列初等变换化,1)矩阵的等价关系具有:,反身性:与自身等价.,对称性:与等价与等价.,传递性:与等价,与等价,与等价.,三、等价矩阵,定义：,性质：,-,16,2)与等价存在一系列初等矩阵,使,1.（引理）设矩阵的左上角元素,且中至少有一个元素不能被它整除，那么一定,可以找到一个与等价的矩阵，它的左上,角元素，且.,四、矩阵的对角化,-,17,证：根据中不能被除尽的元素所在的,位置，分三种情形来讨论:,i)若在的第一列中有一个元素不能被,除尽，,其中余式，且,对作下列初等行变换:,则有,-,18,的左上角元素符合引理的要求，,故为所求的矩阵.,ii)在的第一行中有一个元素不能被,除尽，这种情况的证明i)与类似.,iii)的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽，但中有另一个元素,-,19,被除尽.,对作下述初等行变换:,我们设,-,20,矩阵的第一行中，有一个元素：,不能被左上角元素除尽，转为情形ii).,证毕.,-,21,2.（定理2）任意一个非零的的一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式，且,称之为的标准形.,-,22,证:经行列调动之后，可使的左上角元素,若不能除尽的全部元素，,由引理，可以找到与等价的，且,由引理，又可以找到与等价的，且,如此下去，将得到一系列彼此等价的矩阵：,左上角元素，,若还不能除尽的全部元素，,左上角元素，,-,23,但次数是非负整数，不可能无止境地降低.,因此在有限步以后，将终止于一个矩阵,它的左上角元素，而且可以除尽,的全部元素即,对作初等变换:,它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.,-,24,中的全部元素都是可以被除尽的，,因为它们都是中元素的组合.,如果，则对于可以重复上述过程，,进而把矩阵化成,-,25,其中与都是首1多项式(与,只差一个常数倍数），而且,能除尽的全部元素.,如此下去，最后就化成了标准形.,-,26,例用初等变换化矩阵为标准形.,解：,-,27,-,28,即为的标准形.,-,29,一、行列式因子,二、不变因子,7.3不变因子,-,30,1.定义：,一、行列式因子,注：,阶行列式因子.,的首项系数为1的最大公因式称为的,中必有非零的级子式，中全部级子式,设矩阵的秩为，对于正整数，,若秩，则有个行列式因子.,-,31,行列式因子.,1)（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级,（即初等变换不改变矩阵的秩与行列式因子）,证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不变的,2.有关结论,设经过一次初等变换变成，与,分别是与的k级行列式因子,下证，分三种情形：,-,32,级子式反号.,公因式，,此时的每个级子式或,者等于的某个级子式，,或者与的某个,因此，是的级子式的,从而,级子式的c倍.,者等于的某个级子式，或者等于的某个,此时的每个级子式或,因此，是的级子式的,公因式，,从而,-,33,此时中包含两行,级子式相等；,的和不包含行的那些级子式与中对应的,中包含行但不包含行的级,子式，按行分成的一个级子式与另一个,级子式的倍的和，,即为的两个级子式,从而,的组合，,因此是的级子式的公因式，,同理可得，,-,34,2）若矩阵的标准形为,其中为首1多项式，且,则的级行列式因子为,-,35,证：与等价，,完全相同，则这个级子式为零.,在中，若一个级子式包含的行、列指标不,与有相的秩与行列式因子.,级子式,所以只需考虑由行与列组成的,即,而这种级子式的最大公因式为,所以，的级行列式因子,-,36,证：设矩阵的标准形为,3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.,其中为首1多项式，且,-,37,于是,即由的行列式因子所唯一确定.,由2），的级行列式因子为,4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：,所以的标准形唯一.,-,38,1.定义：,二、不变因子,矩阵的标准形,称为的不变因子.,的主对角线上的非零元素,-,39,有相同的标准形，,1)（定理5）矩阵、等价,、有相同的不变因子.,证：必要性显然.只证充分性.,2.有关结论,所以与等价.,若与有相同的行列式因子，则,与也有相同的不变因子，,、有相同的行列因子.,从而与,-,40,则，为一非零常数.,的第n个行列式因子,证；若可逆，,因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即,与等价.,2）若的矩阵可逆，则的不变,又的n个行列式因子满足:,-,41,从而不变因子,所以，的标准形为,矩阵的乘积.,注：可逆与等价.,3)（定理6）可逆可表成一些初等,-,42,证：可逆与等价,存在一个可逆矩阵与一个可逆,推论：两个的矩阵、等价,矩阵，使,-,43,例、求矩阵的不变因子,-,44,的非零二级子式为:,解：1）的非零1级子式为:,-,45,又,所以，的不变因子为：,-,46,2）,又,而,的不变因子为,-,47,7.4矩阵相似的判定,-,48,设P为数域若有，,则A与B相似.,证：由,得,即,引理1：,A与B相似.,-,49,对任意及任意-矩阵,一定存在-矩阵及,引理2：,-,50,证：,这里且,设,i)若则令,ii）若设,这里为待定矩阵.,于是,-,51,要使式成立，只需取,即,即可.,同理可证.,-,52,设，则A与B相似,特征矩阵与等价.,定理7：,证：,若A与B相似，则存在可逆矩阵T，,于是,由定理6之推论，得,与等价.,使,-,53,若与等价，,则存在可逆矩阵，使,及，使,存在矩阵,由引理2，对于A，,-,54,由，有,即，,比较两端，得,-,55,下证T可逆.,由有，,即,比较两端，得,-,56,故T可逆.,由引理1，A与B相似.,于是,推论:设则相似,特征矩阵与有相同的不变因子.,证:相似,与等价.,与有相同的不变因子.,-,57,矩阵A的不变因子.,推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.,注：,因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子,定义为此线性变换的不变因子.,矩阵A的特征矩阵的不变因子也称为,对有秩,从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积,等于,即，,-,58,例1.证明：下列三个矩阵彼此都不相似.,证：的不变因子是：,的不变因子是：,的不变因子是：,-,59,故的不变因子各不相同.,彼此不相似.,-,60,一、初等因子的定义,二、初等因子与不变因子的关系,7.5初等因子,三、初等因子的求法,-,61,一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）,把矩阵的每个次数大于零的不变因子,称为A的初等因子.,分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、初等因子的定义,-,62,9个,则A的初等因子有7个，它们是,例1、若12级复矩阵A的不变因子是:,-,63,设n级矩阵A的不变因子为已知：,将分解成互不相同的一次因式,二、初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积:,分析:,-,64,则其中对应于的那些方幂:,就是A的全部初等因子.,注意到不变因子满足,从而有,因此有,-,65,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次最高的必出现在的分解式中，次高的必,出现在的分解式中.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是,唯一确定的.,-,66,设级矩阵的全部初等因子为已知.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数,的1，使其凑成n个，设所得排列为,-,67,于是令,则,就是A的不变因子.,-,68,例1、已知3级矩阵A的初等因子为：,求A的不变因子.,解：作排列,得A的不变因子为：,-,69,结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有,结论2、两个同级数字矩阵相似,相同的不变因子.,它们有相同的初等因子.,-,70,1、性质若多项式都与,互素，则,三、初等因子的求法,证：令,显然，,-,71,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,-,72,同理可得,即,故,-,73,如果多项式都与互素，,2、(引理)设,则与等价.,-,74,证：首先，,从而二阶行列式因子相同.,其次，由引理1，有,从而的一阶行列式因子相同.,所以，与等价.,-,75,3、(定理9)设将特征矩阵进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.,-,76,证：设经过初等变换化成对角形,其中皆为首1多项式，,将分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:,-,77,下证，对于每个相同的一次因式的方幂,在的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵与等价.,此时就是的,且所有不为1的就是A的全部,初等因子.,标准形，,-,78,为了方便起见，先对的方幂进行讨论.,于是,且每一个都与互素.,如果相邻的一对指数,则在中将与对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理,-,79,与,等价.,-,80,等价.,然后对重复上述讨论.,从而与对角矩阵,-,81,如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止.,再依次对作同样处理.,最后便得到与等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为的标准形.,-,82,例2、求矩阵A的初等因子,解：对作初等变换,-,83,A的初等因子为:,-,84,一、若尔当块的初等因子,二、若尔当形矩阵的初等因子,7.6若尔当标准形,三、若尔当标准形存在定理,-,85,若尔当块,的初等因子是,一、若尔当块的初等因子,-,86,证：,此即的级行列式因子.,又有一个级子式是,-,87,所以的级行列式因子为1.,从而，的级行列式因子皆为1.,的不变因子是:,故的初等因子是:,-,88,若尔当形矩阵,其中,则J的全部初等因子是：,二、若尔当形矩阵的初等因子,-,89,证：的初等因子是,与矩阵等价.,于是,-,90,与矩阵,等价.,由定理9，的全部初等因子是：,-,91,它的初等因子唯一确定.,完全被它的级数与主对角线上的元素所刻划，,而这两个数都反应在它的初等因子上.,可见，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是它,的全部若尔当块的初等因子构成的.,由于每个若尔当块,因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.,从而，若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排序外被,-,92,（定理10）每一个复矩阵A都与一个若尔当形矩阵,相似，且这个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外,是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形.,三、若尔当标准形存在定理,1.,-,93,证：若n级复矩阵A的全部初等因子为:,（*）,（其中可能有相同的，指数,也可能相同的）.,每一个初等因子对应于一个若当块,-,94,令,则J的初等因子也是（*），,故J与A相似.,即J与A有相同的初等因子.,-,95,变换，在V中必定存在一组基，使在这组基下,的矩阵是若尔当形矩阵，并且这个若尔当形矩阵,2.定理10换成线性变换的语言即为,（定理11）设是复数域上n维线性空间V的线性,除去若尔当块的排序外是被唯一确定的.,-,96,的初等因子全是一次的.,3.特殊情形,（定理12）复矩阵A与对角矩阵相似,的不变因子没有重根.,（定理13）复矩阵A与对角矩阵相似,-,97,例、求矩阵A的若尔当标准形.,解：,-,98,的初等因子为,故A的若尔当标准形为,-,99,一、最小多项式的定义,二、最小多项式的基本性质,7.7最小多项式,-,100,由哈密尔顿凯莱定理，,是A的特征多项式，则,因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个,多项式使,多项式以A为根.,引入,本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的,那个与A的对角化之间的关系.,此时，也称,-,101,一、最小多项式的定义,定义：,设在数域P上的以A为根的多项,为A的最小多项式.,式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称,-,102,二、最小多项式的基本性质,证：设都是A的最小多项式.,由带余除法，可表成,其中或,于是有,-,103,由最小多项式的定义，,即，,同理可得，,又都是首1多项式,故,-,104,2.引理2设是矩阵A的最小多项式，则,以A为根,证：充分性显然，只证必要性,由带余除法，可表成,其中或,于是有,-,105,由最小多项式的定义，,由此可知：,若是A的最小多项式，则整除任何一,个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即,-,106,例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式,特别地，单位矩阵的最小多项式是；,零矩阵的最小多项式是.,反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则,A