湖北省宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研考试 数学（文）（PDF版）

高三文数试卷第 1页 共 4 页 宜昌市宜昌市 2020 届高三年级届高三年级 4 月线上统一调研测试月线上统一调研测试 数学试题（文科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 2 23,21, x Ax yxxBy yxR，则AB A.1,3B.1,)C. 1,3)D.3,) 2. 复数z满足(1)22i zi，则z A.1 iB.1 iC.22iD.22i 3. 已知 3 tan2 ,(,2 ) 2 ，则cos A. 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 5 5 4. 设 1 3 1 ( ) 2 x ， 5 1 log 6 y ， 1 4 log 3z ，则 A.xyzB.yzx C.zxyD.zyx 5. 运行如图所示的程序框图，输出的结果为 A.0B.1 C.3D.2 3 6. 某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示(单位:万 元)，下列说法中错误 的是 (注: 月结余月收入月支出) A. 上半年的平均月收入为 45 万元 B月收入的方差大于月支出的方差 C月收入的中位数为 70 D月结余的众数为 30 7. 已知圆 22 :(1)4Cxy，过点( 2,0)的直线 l 与圆 C 相交，则直线 l 的斜率的取值范围为 A.( 2,2)B. 2 5 (,) 5 C. 2 5 2 5 (,) 55 D. 2 3 2 3 (,) 55 8. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 否否 是是 开始 0,1Sn 2020?n tan 3 n SS 1nn 结束 输出S 高三文数试卷第 2页 共 4 页 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？” 假定该金杖被截成长度相等 的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为 A. 6 5 斤B. 4 3 斤C. 3 2 斤D. 5 4 斤 9. 对于函数 2 ( ) 1 x f x e 的图象，下列说法正确的是 A. 关于直线1x 对称B. 关于直线yx对称 C. 关于点(1,0)对称D. 关于点(0,1)对称 10.ABC中，2,3,3ACBCAC BC ,O为该三角形的外心，则BA AO A. 19 2 B. 19 2 C. 7 2 D. 7 2 11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， 1 M为正视图一边的 中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为 1 M 、 1 A、 1. B在此几何体中， 平面过点M且与直线AB垂直， 则平面 截该几何体所得截面图形的面积为 A. 6 2 B. 6 4 C. 3 2 D. 3 4 12. 若函数 2 ( )1 x f xexax在区间1,2内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为 A. 2 5 ,) 2 e B.(,2 e C. 2 5 (,2) 2 e e D. 2 5 ,2 2 e e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填 错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13. 已知函数( )f x为R上的奇函数，0 x时， 2 ( )f xxx ，则( 2)f . 14. 若实数yx,满足约束条件 1 1 4 x y xy ，则2xy的最小值为. 15. 各项均为正数的等比数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 33 7Sa，则使 127 64 n S 成立的n的最小值 为. 16. 已知双曲线 22 1 97 xy 的左焦点为F，点P在双曲线的右支上，若线段PF与圆 22 16xy相交于点 M，且FMMP ，则直线PF的斜率为. 高三文数试卷第 3页 共 4 页 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分） 在ABC中，角ABC、 、的对边分别是abc、 、，满足3(cos)sin .abCcB （1）求角B的大小； （2）若ABC的面积为2 3 ,2 6b ，求ABC的周长. 18.（本题满分 12 分） 已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC ，对角线 AC、BD交于点O，平面外一点P在平面ABCD 内的射影为O,PB与平面ABCD所成角为30. （1）求证：BDPA； （2）点N在线段PB上，且 3 12 NPCD V ，求 PN PB 的值. 19.（本题满分 12 分） 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐. 为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院 组织专家统计了该地区 500 名患者的新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频 率分布直方图（用频率作为概率）. 潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数 的患者，称为“长潜伏者” （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，并计算出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名 患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为 潜伏期长短与患者年龄有关； 短潜伏者长潜伏者合计 60 岁及以上90 60 岁以下140 合计300 （3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的 300 人中分层选取 7 位 60 岁以 下的患者做期临床试验，再从选取的 7 人中随机抽取两人做期临床试验，求两人中恰有 1 人为“长潜 伏者”的概率. 附表及公式： 2 0 ()P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 2 2 n adbc K abcdacbd 高三文数试卷第 4页 共 4 页 20.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2 :8C xy和直线:2l ykx，直线l恒过圆P的圆心，且圆P上的点到直线l的最大距 离为 2. （1）求圆P的方程； （2）直线l与抛物线C和圆P都相交，且四个交点自左向右顺次记为A B C D、 、 、. 如果16CDAB, 求直线l的方程. 21.（本题满分 12 分） 已知函数( )2sinf xxx. （1）当0, 2 x时，求( )f x的最小值； （2）若0, x时，( )(1)cosf xa xxx，求实数a的取值范围. （二）选考题：共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 2 4 2 xt yt (t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴 的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos. （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）已知定点( 2, 4)M ，直线l与曲线C分别交于PQ、两点，求 MQMP MPMQ 的值. 23. 选修 4-5：不等式选讲（本题满分 10 分） 已知正实数a、b、c满足9abc，且 222 abc 的最小值为t. （1）求t的值； （2）设( )23f xxt x，若存在实数x，使得不等式 2 ( )23f xmm成立，求实数m的取 值范围. 宜昌市宜昌市 20202020 届高三年级届高三年级 4 4 月线上统一调研测试月线上统一调研测试 文科数学参考答案 命题：（秭归一中） 审题：（宜昌市一中） （远安一中） （宜昌市科技高中） 一一、选择题选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C C C C D C A D 二二、填空题填空题： 13. 2 14. 5 15. 8 16. 15 7 三三、解答题解答题： 17.（1）由3(cos)sinabCcB得BCCBAsinsin)cossin(sin3 .sinsincossin)sin(3BCCBCB .2 分 CBCBsinsinsincos3. .4 分 在ABC中，. 3tan, 0sinBC .5 分 又. 3 ,0 BB .6 分 （2）面积. 832sin 2 1 acBacS .7 分 acca ac bca B 24 2 1 2 cos 22 222 .9 分 . 3424324)( 2 caacca .11 分 ABC的周长为. 6234 .12 分 18.（1）由题意,BDPOABCDPO面 .2 分 菱形 ABCD 中，BDAC 又,POACO则，面PACBD .4 分 所以；PABD .5 分 （2）因为,ABCDPO面所以 PB 与平面 ABCD 所成角为30PBO ， .6 分 又菱形边长为 2， 60ABC所以2, 1, 3PBPOBO,. 2, 1PCCO.8 分 424214 cos,sin. 442 22 BPCBPC 设2PNPB，由 DBCPPBCD VV 得 D 到平面 PCB 的距离为， 7 212 则 D 到平面 PNC 的距离也为. 7 212 .10 分 . 4 1 12 3 7 212 4 14 22 2 1 3 1 PCNDPCDN VV .11 分 所以. 4 1 PB PN .12 分 19.（1）平均数1103. 0903. 0718. 0515. 0308. 0102. 0(x. 62)1301. 0 .2 分 “长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为0.5 所以 500 人中“长潜伏者”人数为2505 . 0500人. .4分 （2）由题意补充的列联表如图： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 合计 150 150 300 .5分 所以 2 K的观测值为 2 300 (90 8060 70)75 5.3575.024 150 150 160 14014 k .6 分 经查表，得 2 (5.024)0.025P k ，所以有%5 .97的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关. .8 分 （3）由分层抽样知 7 人中，“短潜伏者”有 3 人，记为cba,“长潜伏者”有 4 人，记为，GFED, .9 分 从中抽取 2 人，共有( , ),( , ),( ,), ),( ,),( ,),( , ),( ,),( , )a ba ca Da Ea Fa Gb cb Db E（,( ,),( ,),( ,),( ,)b Fb Gc Dc E, ( ,),),( ,),( ,),( ,),( ,),( ,),( ,)c Fc GD ED FD GE FE GF G（21 种不同的结果，两人中恰好有 1 人为“长潜 伏者”包含了12种结果. .11分 所以所求概率. 7 4 21 12 P .12分 20.（1）直线2 kxy过定点)2 , 0(，圆心)2 , 0(P。 .2 分 因为圆P上的点到直线的最大距离为 2，所以, 2r .3 分 所以圆P的方程为. 4)2( 22 yx .4 分 （2）由yx8 2 知)2 , 0(P为抛物线焦点 由图和,16 ABCD 知. 0k .5 分 04)48( 2 822 2 yky kxy yx ， 设),(),( 2211 yxDyxA， 则. 4, 48 21 2 21 yykyy .7 分 由抛物线定义得 12 2,2yAPAByDPCD .9 分 所以ABCD16 12 16yy ，所以8, 2 1 21 yy，从而有8 2 1 48 2 k 所以. 4 3 16 9 2 kk所以直线l的方程为3480 xy .12 分 21.（1）2 , 0,cos21)( xxxf .1 分 令 2 1 cos0)( xxf，得) 3 5 , 3 ( x; ( ) 0,fx 得），（ 3 0 x和2 , 3 5 ( . 所以)(xf在) 3 , 0( 递减，在) 3 5 , 3 ( 递增，在)2 , 3 5 ( 递减. .3 分 所以最小值为)2(, 3 (min ff）. 又因为( )3,(2 )2 33 ff ，)2() 3 ( ff， 所以2 , 0x时，. 3 3 ) 3 ()( min fxf .5 分 （2）xxxaxfcos)1 ()(即. 0cossin2axxxx 设axxxxxhcossin2)(, 0x ( )2coscossincossinh xxxxxaxxxa .6 分 ( )cosh xxx，0,( )0,( )0. 22 xh xxh x ( )( ) 22 h xha ，又(0)1,( )1.ha ha .7 分 0 2 a 即 2 a时，( )0, ( )h xh x在, 0上递减，0)(xh，舍。.8 分 0 2 a 即 2 a时， （）当01 , 01aa即 2 1 a时， 2 , 0 0 x，使得 0 ()0,h x且 00 0,()0 xx h x, ( )h x在 0 , 0 x内递减，, 0)0()( hxh矛盾，舍。 .9 分 （）当01 , 01aa即11a时， , 2 0 x，使得 0 ()0,h x且,0 0 xx 0 ( )0,)0h xxxh