四川省成都树德中学2020届高三三诊模拟考试 数学（文）（PDF版）

高三数学（文科） 第 1 页 共 2 页 树德中学高树德中学高 2017 级三诊模拟级三诊模拟数学数学（文科文科）试题试题 一、本大题共一、本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每分，在每小题小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的的. 1. 已知集合 2 |230,Ax xxxZ，集合 |0Bx x，则集合 Z AB的真子集个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2方程 22 1 23 xy mm 表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A. 30m B. 32m C. 34m D. 13m 3. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置( , )P x y，若初 始位置为 0 3 1 (, ) 22 P，当秒针从 0 P（此时0t ）正常开始转动时，那么点P的 纵坐标y与时间t的函数关系为（ ） A. sin() 306 yt B. sin() 306 yt C. sin() 606 yt D. sin() 303 yt 4. 已知直线710 xy把圆 22 4xy分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（ ） A. 2 B. 2 3 C. D. 2 5. 若x的取值范围为0,10，给出如图所示的程序框图，输入一个数x，则输出的 y满足5y 的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 6. 变量, x y满足 430 35250 1 xy xy x ，则 22 6414xyxy的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 64 D. 65 7. 某空间凸多面体的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 1， 正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形， 则该几何体的表面积为 （ ） A. 3 2 2 2 B. 73 2 22 C. 32 2 D. 22 8. 已知平面及直线, a b，则下列说法错误的个数是（ ） 若直线, a b与平面所成角都是30，则这两条直线平行；若直线, a b与平面所成角都是30， 则这两条直线不可能垂直； 若直线, a b垂直， 则这两条直线与平面不可能都垂直； 若直线, a b平 行，则这两条直线中至少有一条与平面平行. A. 1 B. 2 C. 3 D.4 9. 已知函数 1 ( ) 1 x x e f x e ，( )1g xx ，若对 1 xR，总存在 2 , xm n，使得 12 ()()f xg x成 立，以下对m、n的取值范围判断正确的是（ ） A. 2m B. 2m C. 2n D. 2n 10. ABC的外接圆的圆心为O，满足COmCAnCB且432mn，| 4 3CA ，| 6CB ， 则CA CB（ ） A. 36 B. 24 C. 24 3 D. 12 3 11. 设函数 2 log (1),0 ( ) , 0 xx f x xx ，则满足(1)2f x的x的取值范围为（ ） A. ( 4,3) B. ( 5,2) C. ( 3,4) D. (, 3)(4,) 12. 已知点,M N是抛物线 2 4yx上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足135MFN. 弦 MN的中点P到直线 1 : 16 L y 的距离为d，若 22 |MNd，则的最小值为（ ） A. 2 2 B. 2 1 2 C. 2 1 2 D. 22 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13. 双曲线 22 916 xy （R且0）的离心率为 . 14. 复数z满足方程 2 30zz ，z是z的共轭复数，则zz . 15. 若 21 ( ) 1214 xx f x ，且log ( 21)1 a f，其中1a ，则log ( 21) a f . 16. 函数 2 ( )6sin1() 2 x f xxxxR 的零点个数有 个. 高三数学（文科） 第 2 页 共 2 页 三、解答题三、解答题.（共（共 70 分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤。第。第 17-21 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作题为选考题，考生根据要求作答答） （一）必考题（共 60 分） 17. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 4 m S ，0 m S ， 2 14 m S （2m 且*mN） （12 分） （1）求m的值； （2）若数列 n b满足 2 log(*) 2 n n a b nN，求数列(6) nn ab的前n项和. 18.（12 分）如图，四面体 ABCD中 ，O、E分 别 是BD、BC的 中 点 ， 2CABCCDBD. 2ABAD.（1）求证：AO 平面BCD.（2） 求异面直线AB与CD所成角的余弦值. （3）求点E到平面ACD 的距离. 19. （12 分）2019 年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二 次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国会第二次会议， 分别于 2019 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京召开. 为了了解哪些人更关注“两会”，某机 构随机抽取了年龄在 15-75 岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制出频 率分布直方图，如图. 若把年龄在区间15,35)，35,75内的人分别称为“青少年”“中老年”. 经 统计“青少年”和“中老年”的人数之比为 19:21. 其中“青少年”中有 40 人关 注“两会”，“中老年”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比为 2:1. （1）求图中ab的值. （2）现采用分层抽样在25,35)和45,55)中随机抽 取 8 人作为代表， 从 8 人中任选 2 人， 求 2 人都是“中 老年”的概率. （3）根据已知条件，完成下面的2 2列联表，并判 断能否有 99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加 关注“两会”. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd . 2 0 ()P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20. （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 3 (1, ) 2 P，直线: l ykxm 交椭圆E于不同的两点,A B，设线段AB的中点为M. （1）求椭圆E的方程； （2）当AOB的面积为 3 2 （其中O为坐标原点）且 22 4430km 时，试问：在坐标平面上是否 存在两个定点,C D，使得当直线l运动时，|MCMD为定值？若存在，求出点,C D的坐标和定 值；若不存在，请说明理由. 21.（12 分） 已知函数 11 ( )()ln(1)f xaxx a ax . （1）试讨论( )f x在区间(0,1)上的单调性； （2）当3,)a时，曲线( )yf x总存在相异两点 11 ( ,()P xf x， 22 (,()Q xf x，使得曲线( )yf x在,P Q处的切线互相平行，求证 12 6 5 xx. 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22(10 分)选修 4-4，坐标系与参数方程，在平面直角坐标系中，曲线 1 C的参数方程为 2 2 2 tan 2 tan1 1 2 tan1 x y （为参数，0, 2 ） 以标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2: cos()2 4 C . （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2）若点P在曲线 1 C上，点Q在曲线 2 C上，求|PQ的最小值. 23. （10 分）已知函数( ) |1|2|f xxx. （1）求不等式( )1f x 的解集； （2）若不等式 2 ( )f xxxm的解集非空，求m的取值范围. 高三数学（文科） 第 3 页 共 2 页 树德中学高 2017 级三诊模拟数学（文科）试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D B D C C C A B D 13. 5 3 或 5 4 14. 1 15. 2 16. 8 17. （1）由已知得 1 4 mmm aSS 且 122 14 mmmm aaSS ，设 n a公差为d，则有 2314 m ad. 2d， 由0 m S 得 1 (1) 20 2 m m ma 即 1 1am . 1 (1) 214 m aamm ，5m. （1） 由知 1 4a 2d ，26 n an. 2 3log n nb 即 3 2n n b . 2 (6)2n nn abn ， 设数列(6) nn ab的前n项和为 n T. 则 1032 1 222(1)22 nn n Tnn 0121 21 222(1)22 nn n Tnn 由-得 102111 1 222222 2 nnnn n Tnn 1 1 (1)2 2 n n Tn . 18. （1）证明：连结OC，BODO，ABAD，AOBD，BODO，BCCD. COBD. 在AOC中，由已知可得1AO ，3CO ，而2AC ，2AC， 222 AOCOAC. 90AOC即AOOC，0BDOC ，AO平面BCD. （2）解，取AC的中点M，连结,OM ME OE，由E为BC的中点知/MEAB，/OEDC，直 线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. 在OME中， 12 22 EMAB， 1 1 2 OEDC，OM是直角AOC斜边AC上的中线， 1 1 2 OMAC， 2 cos 4 OEM，异面直线AB与CD所成角的余弦值为 2 4 . （3）解：设点E到平面ACD的距离为h. E ACDA CDE VV . 11 33 ACDCDE h SAO S , 在ACD中，2CACD，2AD . 22 127 22() 222 ACD S而1AO ， 2 133 2 242 CDE S. 3 1 21 2 77 2 CDE ACD AO S h S . 点E到平面ACD的距离为 21 7 . 另法： （2） ， （3）建立空间坐标系亦可解。 19. 解： （1）由题意得 19 (0.030) 10 1921 21 (0.0100.005 2) 10 1921 b a ，解得 0.0175 0.0325 b a ， 所以0.03250.01750.05ab. （2）由题意得，在25,35)中抽取 0.030 8=6 0.030+0.010 （人） ，分别记为, ,A B C D E F，在45,55) 中 抽 取8-6=2（ 人 ）， 分 别 记 为, a b. 则 从8人 中 任 选2人 的 全 部 基 本 事 件 有 ,AB AC AD AE AF Aa Ab BC BD BE BF ,Ba Bb CD CE CF Ca Cb DE DF,Da Db,EF Ea ,Eb Fa Fb ab，共 28 种，其中所选的 2 人都是“中老年”的事件只有ab这 1 种，故 2 人都是“中老年” 的概率 1 28 p . （3）2 2列联表如下： 关注 不关注 总计 “青少年” 40 55 95 “中老年” 70 35 105 总计 110 90 200 所以 2 2 200(403555 70) 12.15710.828 95 105 11090 K ， 所以有 99.9%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“两会”. 20. 解： （1）由于椭圆的离心率为 1 2 ，则 222 :4:3:1abc ，故椭圆 22 :(0) 43 xy E 又椭圆 过点 3 (1, ) 2 P，从而 13 1 44 ，从而椭圆E的方程为 22 1 43 xy . （2）当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，并设 1122 (,),(,)A xyB xy联立方程 22 1 43 ykxm xy ，得 222 (34)84120kxkmxm，则 22 12 2 2 12 2 48(43)0 8 43 412 43 km km xx k m x x k 从而 1212 2 6 ()2 43 m yyk xxm k ，从而点M的坐标为 22 43 (,) 43 43 kmm kk ， 高三数学（文科） 第 4 页 共 2 页 由于 22 22 12 2 48(43) |1|1 43 km ABkxxk k ，点O到直线l的距离为 2 | 1 m d k ， 则AOB的面积 222 2 (43)1 |2 3 243 AOB mkm SAB d k ， 由题得： 222 2 (43)3 2 3 432 AOB mkm S k ， 从而化简得： 22224 3(43)16(43)160kmkm， 故 2222 (43)43(43)40kmkm，即 2 2 43 4 k m 或 2 2 3(43) 4 k m ， 又由于 22 4430km ，从而 2 2 3(43) 4 k m . 当 2 2 3(43) 4 k m 时，由于 2 4 43 M km x k ， 2 3 43 M m y k ， 从而 22 2222 2222 23(42)3 ()()()() 24343(43)43 MM xykmmmk kkk ， 即点M在椭圆 22 1 9 3 4 xy 上. 由椭圆的定义得，存在点 3 (,0) 2 C ， 3 (,0) 2 D或 3 (,0) 2 D ， 3 (,0) 2 C，使得|MCMD为定值2 3. 21. 解： （1）由已0 x ， 2 222 111 ()1()() 1 ( )1 axaxxax aaa fx xxxx ， 由( )0fx ， 得 1 1 x a ， 2 xa，1a ， 1 01 a ， 且 1 a a ， 所以在区间 1 (0,) a 上( )0fx ； 在区间 1 (,1) a 上，( )0fx ，故( )f x在 1 (0,) a 上单调递减，在 1 (,1) a 上单调递增. （ 2 ） 由 题 意 可 得 ， 当3,)a时 ， 1212 () () (,0 )fxfxxx且 12 ()xx， 即 22 1122 11 11 11 aa aa xxxx ，所以 12 1212 111xx a axxx x ，3,)a. 因为 12 ,0 x x ，且 12 xx，所以 2 12 12 () 2 xx x x