湖南省邵阳市重点学校2020届高三综合模拟考试 数学（理）（PDF版）

邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 1页共 6页 邵阳市邵阳市部分学校部分学校 2020 届高三综合模拟考试届高三综合模拟考试 理科数学理科数学试题试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3本卷答题时间 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1设函数 2 9f xx的定义域 A，函数 ln 2g xx 的定义域为 B，则集合AB为 A（2，3）B 2,3 C 3,2 D（-3，2） 2微信运动，是由腾讯开发的一个类 似计步数据库的公众账号.用户可以通 过关注微信运动公众号查看自己每天 或每月行走的步数， 同时也可以和其他 用户进行运动量的PK或点赞.加入微 信运动后， 为了让自己的步数能领先于 朋友， 人们运动的积极性明显增强，下 面是某人 2011 年 1 月至 2019 年 11 月 期间每月跑步的平均里程（单位：十公 里）的数据，绘制了下面的折线图. 根据折线图， 下列结论正确的是（） A月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B月跑步平均里程逐月增加 C月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 3 已知i是虚数单位， 复数 12 2,2zi zi， 给出下列命题： 2 1121 :pzzz； 1 2 2 : z p z 的虚部为 4 5 i； 1 3 2 : z p z 在复平面内对应的点位于第四象限； 1 4 2 3 : 5 z p z 是纯虚数.其中是假命题的为 A 24 ,pp B 123 ,p pp C 34 ,pp D 23 ,pp 4已知正ABC的边长为 4，点D为边BC的中点，点E满足AE ED ，那么EB EC 的值为 A 8 3 B1C1D3 5函数 22 cos xx y xx 的图像大致为 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 2页共 6页 AB CD 6将函数sin23cos2yxx的图象沿x轴向左平移 (0) 个单位后，得到关于y轴对称的 图象，则的最小值为 吖 A 12 B 6 C 4 D 5 12 7汉朝时，张衡得出圆周率的平方除 以 16 等于 5 8 ，如图，网格纸上的小正 方形的边长为 1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，俯视图中的曲线为 圆，利用张衡的结论可得该几何体的 体积为（） A32B40C 32 10 3 D 40 10 3 820世纪产生了著名的“31x”猜想：任给一个正整数x， 如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1， 不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图 是验证“31x”猜想的一个程序框图， 若输入正整数m的值为 40，则输出的n的值是 A8B9 C10D11 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 3页共 6页 9在梯形ABCD中，/ /ABCD，2ABCD，3BCCD，则ADB的最大值为（） A 4 B 3 C 2 D 2 3 10上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1）， 充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平， 也印证了我 国古代音律与历法的密切联系.图 2 为骨笛测量“春 （秋） 分”， “夏 （冬） 至”的示意图， 图 3 是某骨笛的部分测量数据 （骨笛的弯曲忽略不计） ， 夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午 太阳光线）的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角23 4123 5724 1324 2824 44 正切值0.4390.4440.4500.4550.461 年代公元元年公元前 2000 年公元前 4000 年公元前 6000 年公元前8000年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是() A公元前 2000 年到公元元年B公元前 4000 年到公元前 2000 年 C公元前 6000 年到公元前 4000 年D早于公元前 6000 年 11已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 coscosbCcB，则 111 tantantanABC 的最小值为（） A 2 7 3 B5C 7 3 D2 5 12如图，在ABC中，AB 4 ，点E为AB的中点，点D为线段AB垂 直平分线上的一点，且 4DE ，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C， 使得ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程 中，当CA CD 取得最小值时，ABC的面积为（） A12 524B6 512C12 518D6 58 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 4页共 6页 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在 23 (23)xx的展开式中，含 2 x的项的系数是_ 14过抛物线 2 20ypx p 的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若ACF与BDF面 积之和的最小值为 32，则抛物线的方程为_. 15若函数 2 1 ( )ln2 2 f xaxxbx在区间1,2上单调递增，则4ab的最小值是_ 16在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则 2 2 S abc 的最大 值为_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17已知数列 n a 为等比数列,数列 n b 满足 2 log nn ba ,且 45 1ab .设 n S为数列 n b 的前n项 和. （1）求数列 n a n b 的通项公式及 n S; （2）若数列 n c 满足 n nn S ca n ,求 n c 的前n项和 n T. 18如图，平面 PAC平面 ABC，ABC是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O 分别 为 PA，PB，AC 的中点，1610ACPAPC，. （1）设 G 是 OC 的中点，证明：FG平面BOE； （2）证明：在ABO内存在一点 M，使 FM平面 BOE，求点 M 到 OA，OB 的距离. 19某省高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由 3 门统一高考科目成绩和自主 选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分.其中，统一高考科目为 语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 5页共 6页 历史、政治、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语、数、外三科各占 150 分，选考科目成绩 采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以 此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到 低分为 ?、? ?、?、? ?、?、? ?、?、? 共 8 个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数 所占比例分别为 ?、?、?、?、?、?、?、?.等级考试科目成绩计入考生 总成绩时， 将 ? 至 ? 等级内的考生原始成绩， 依照等比例转换法则， 分别转换到 91-100、 81-90、 71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30 八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明. 某同学化学学科原始分为 65 分，该学科 ? ?等级的原始分分布区间为 5869，则该同学化学 学科的原始成绩属 ? ?等级.而 ? ?等级的转换分区间为 6170，那么该同学化学学科的转换 分为： 设该同学化学科的转换等级分为 ?，? ? ? ? ?，求得 ? ? ?. 四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为 67. （1）某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试， 其中物理考试原始成绩基本服从正态分布? t ?. （i） 若小明同学在这次考试中物理原始分为 84 分， 等级为 ? ?， 其所在原始分分布区间为 82 93，求小明转换后的物理成绩； （ii）求物理原始分在区间?的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 4 人，记 ? 表示这 4 人中等级成绩在区间 ?的人数，求 ? 的分布列和数学期望. （附：若随机变量? t ?，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?） 20椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距是8 2，长轴长 是短轴长 3 倍，任作斜率为 1 3 的直线l与椭圆C交于A B、 两点（如图所示），且点 3 2,2P 在直线l的左上方. （1）求椭圆C的方程； （2）若2 10AB ，求PAB的面积； 邵阳市 2020 年部分学校高三综合模拟考试理科数学试卷第 6页共 6页 （3）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上。 21已知函数( )ln() k f xxxx kR x ，若函数( )f x在(0,)上存在两个极值点 12 ,x x. （）求实数k的取值范围； （）证明： 12 2 2 xx k . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正 半轴为极轴建立极坐标系，动点P在直线sin2上，将射线OP逆时针旋转 4 得到射线 OP，射线 OP上一点Q，满足 4OPOQ ，Q点的轨迹为曲线C， （1）求曲线C的极坐标方程； （2）设射线 1: ,0 2 l 和射线 2: ,0,0, 22 l 分别与曲线C交于 ,A B两 点，求AOB面积的最大值. 23. 选修 45：不等式选讲 设函数 214fxxx （1）解不等式: 0f x ; （2）若 341fxxa 对一切实数x均成立:求a的取值范围. 理数答案 第 1页，总 9页 理科数学理科数学试题参考答案试题参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 题号123456789101112 选项CDDBAACCBDAA 12、以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则2,0A ，2,0B，0,4D，设ABC的内切圆分别切BC、AC、AB于F，G， H点，3 124CACBAGBFAHHB ， 所以C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a ，2c ， 222 3bca ，C的轨迹方程为 2 2 0,0 3 y xx y 2CACB， 2CACB，2CACDCBCD，则当点C为线段BD与双曲线在第一 象限的交点时，CACD最小， 如图所示： 线段BD的方程为4202yxx， 将其代入 22 330 xy， 得 2 16190 xx ， 解得 83 5x （舍去）或 83 5x ，426 512yx， 83 5,6 512C ABC的面积为 1 46 51212 524 2 故选：A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13-914 2 8yx15-416 3 12 理数答案 第 2页，总 9页 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 17 (1)对 * 2121 ,log,log nnnn nn ba ba ,则 1 12122 logloglog n nnnn n a bbaa a , 因为 n a 为等比数列,则 1n n a a 为定值.则 1 2 log n n a a 为定值,则数列 n b 为等差数列. 42425 loglog0,11bab , 则 * 4, n bnnn, 4 22 n an n a , * nn, * 1 (7), 2 n Snn nn; (2) 45 1 (7) 2|(7) 2 2 nn n nn S cann n , 设 5 (7) 2n n cn , n T为数列 n c的前n项和,则有: 4325 ( 6) 2( 5) 2( 4) 2(7) 2,(*) n n Tn 3214 2( 6) 2( 5) 2( 4) 2(7) 2,(*) n n Tn (*)式(*)式,得: 31 4325444 21 2 ( 6) 2222(7) 2( 6) 2(7) 2 1 2 n nnn n Tnn , 44 1 (7) 22 2 nn n Tn . 当7n时, 44 1 (7) 22 2 nn nn TTn ; 当8n 时, 44444 7 131 2(7) 2221(7) 22 22 nnnn nn TTTnn , 即 44 44 1 (7) 22,(7) 2 31 (7) 22,(8) 2 nn n nn nn T nn 18（1）证明：O为AC中点，连结 OP 如下图所示， 因为 ,PAPC BABC , 所以 ,OPAC OBAC ， 理数答案 第 3页，总 9页 因为平面PAC 平面ABC，且平面PAC 平面ABCAC， 所以OP 平面ABC， 而OB 平面ABC，则OPOB. 以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系O xyz ， 则 (0,0,0),(0, 8,0),(8,0,0),(0,8,0),(0,0,6),(0, 4,3),(4,0,3)OABCPEF ， 由题意得，得 (0,4,0)G ， 而(8,0,0),(0, 4,3)OBOE ， 设平面BOE的法向量为 ( , , ),nx y z 则 0 0 OB n OE n ,代入可得 80 430 x yz ， 令 3y ，代入可得4z ，所以平面 BOE 的法向量为 (0,3,4),n 而( 4,4, 3)FG ， 得 0n FG ，即n FG ， 又直线FG不在平面BOE内， 因此有/ /FG平面BOE. （II）设点 M 的坐标为 00 ,0 xy ，则 00 4, 3FMxy ， 因为FM 平面BOE，所以有 / /FMn ， 理数答案 第 4页，总 9页 因此有 00 9 4, 4 xy ，即点 M 的坐标为 9 4,0 4 ， 在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy ， 经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组， 所以在ABO内存在一点 M，使FM 平面BOE，由点 M 的坐标得点 M 到 OA， OB 的距离为 9 4 4 ，. 19（1）（i）设小明转换后的物理等级分为 ?， ? ? ? ? ?， 求得 ? ? ?. 小明转换后的物理成绩为 83 分； （ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布 ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 所以物理原始分在区间 ? 的人数为 ? ? ? ? ?（人）； （2）由题意得，随机抽取 1 人，其等级成绩在区间 ? 内的概率为? ?， 随机抽取 4 人，则 ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ? 的分布列为 ?01234 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 理数答案 第 5页，总 9页 数学期望 ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 20（1）由题意知：2 8 2c ，得 4 2c ，又 222 3 ,32ab abc， 所以 6,2ab ，故椭圆C的方程为： 22 1 364 xy ； （2） 设直线l的方程为： 1 3 yxt， 代入椭圆方程可得： 22 269360 xtxt， 设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy ,则 2 1212 936 3 , 2 t xxt x x ， 所以 22 1 192(936) 9 ABtt， 又2 10AB ，解得2t 或2t ， 由题意可得0t ， 故AB所在直线方程为 1 2 3 yx，即360 xy， 所以点 3 2,2P 到直线AB的距离 3 23 26 6 1910 d ， 故PAB的面积为 116 2 106 22 10 SAB d ； （3）设直线l的方程为： 1 3 yxm，代入椭圆方程可得： 22 269360 xmxm， 设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy ,则 2 1212 936 3 , 2 m xxm x x ， 所以 12 12 22 3 23 2 PAPB yy kk xx = 1221 12 (2)(3 2)(2)(3 2) (3 2)(3 2) yxyx xx ， 又 12 (2)(3 2)yx 21 (2)(3 2)yx 12 1 (2)(3 2) 3 xmx 21 1 (2)(3 2) 3 xmx 理数答案 第 6页，总 9页 2 1212 22 936 (2 2)()6 212(2 2) 36 2120 332 m x xmxxmmmm ， 即 0 PAPB kk ，所以APB的角平分线平行y轴， 故PAB的内切圆的圆心在一条定直线 3 2x 上. 21（）函数 ( )f x 的定义域为(0, )， 因为( )ln k f xxxx x ， 22 ( )ln11ln kk fxxx xx 令 2 ( )ln k g xx x 所以 2 33 122 ( ),0 kxk g xx xxx . 当0k 时， ( )0g x ， 所以函数 ( )g x在(0,)上单调递增. 即 2 ( )ln k fxx x 在(0, )上单调递增， ( )fx 在(0, )上至多一个零点， 所以 ( )f x 在(0, )上至多一个极值点，不满足条件. 当0k 时，由 ( )0g x ，得2xk（负根舍去）， 当(0, 2 )xk时， ( )0g x ， 当( 2 ,)xk时， ( )0g x ， 所以函数 ( )g x在(0, 2 ) k）上单调递减； 在( 2 ,)k 上单调递增. 理数答案 第 7页，总 9页 所以 min 1 ( )( 2 )ln 2 2 g xgkk， 要使函数 ( )f x 在(0, )上存在两个极值点 则函数( )fx 有两个零点，即 ( )g x有两个零点 首先 min 1 ( )ln 20 2 g xk，解得 1 0 2 k e . 因为221kk，且 (1)0gk ， 下面证明： 1 (2 )ln(2 )0 4 gkk k . 设 1 ( )ln(2 ) 4 h kk k ， 则 22 1141 ( ) 44 k h k kkk . 因为 1 2 k e ，所以 22 2 1 41 ( )0 44 k e h k kk . 所以 ( )h k在 1 0, 2e 上单调递减， 所以 11 (2 )( )ln0 22 gkh e e kh e . 所以实数k的取值范围为 1 0, 2e . （）因为 1 x， 2 x是函数( )f x的两个极值点， 所以 1 x， 2 x是函数( )fx 的两个零点 即 1 x， 2 x是函数( )g x的两个零点， 不妨设 12 xx ，令 21 xtx ，则1