高二数学同步辅导教材(第16讲)

高二数学同步辅导教材（第16讲）本章主要内容8.5 抛物线及其标准方程课本第115页至第119页一、 本讲主要内容1、 抛物线的定义2、 抛物线的标准方程3、 抛物线定义的运用4、 运用待定系数法求抛物线方程 三、学习指导 1、抛物线的定义是从椭圆、双曲线的第二定义引出的，采用了分类讨论的思想。椭圆和双曲线都有两个定义，但抛物线只有一个。椭圆和双曲线的顶点、焦点、准线成对出现，而抛物线只有一个焦点、顶点、准线。2、课本P.116给出了四种不同开口方向之下的抛物线方程，其规律有： （1）纵向比较：可记忆成“次数定轴，系数定向”。次数定轴是指一次项系数的正负决定开口方向，若系数为正，则抛物线开口为坐标轴正方向；若系数为负，则抛物线开口为坐标轴负方向。 （2）横向比较；焦点在对称轴上，准线与对称轴垂直；一次项系数的1/4值为焦点非零坐标，其相反数为准线方程中的数值。3、求抛物线的标准方程，思路同椭圆及双曲线，用待定系数法。尽管抛物线方程中的参数只有一个p，但因类型较多，因此在解题时应正确选用。4、用定义解题是抛物线的重要思想方法。课本P.117例2是一道重要、典型的例题，同学们应仔细体会转化的思想。四、典型例题例1、互相垂直的两直线l1、l2交于点M，点Nl1，以A、B为端点的弧l上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN是锐角三角形，|AM|=，|AN|=3,|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线弧C的方程。解题思路分析：因弧C上任意一点到直线l2的距离与到点N距离相等，根据抛物线定义可知，AB是抛物线的一段弧，N为焦点，l2为准线。以l1为x轴，MN中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线方程为y2=2px（p0），弧C方程为y2=2px，xAxxB，直线l2：。过A作AA1l2，A1为垂足，则|AA1|=|AN|=3 |AM|= |A1M|=即 yA= 又 |AA1|= 由得或因AMN为锐角三角形，而当xA=2， p=2时，N（1，0），A在x轴上的射影在N右侧，AMN为钝角三角形，故舍去。 |BN|=xB+ xB=4 曲线弧C的方程为y2=8x（1x4，y0）注：本题也可以以l1、l2所在直线分别为x轴、y轴建立坐标系，不过曲线弧C所在抛物线方程不是标准方程。例2、抛物线拱桥如图，水面宽|AB|=2a时，拱顶离水面h，一货船在水面上部分的横截面是矩形CDEG。（1） 若矩形长|CD|为a，则高|DE|为何值时船才能通过； （2）求矩形面积S的临界值M，使当SM时，可适当调整矩形的长与高，让船通过拱桥；而当SM时，无论怎样调整，船都不能过桥。解题思路分析：这是一个实际问题，为了精确地求出|DE|，应通过建立坐标系，用解析几何知识求解。 （1）如图建立坐标系xOy，|DE|最大值为E在抛物线上，当船高小于|DE|最大值时，货船可以通过。由抛物线的对称性知，xD=xE=,因D到x轴距离为h，故欲求|ED|，只需求E到x轴的距离，即E点纵坐标的绝对值。设抛物线方程为x2=-2py（p0） B（a，-h）在抛物线上 a2=2ph 2p= 抛物线方程为x2=令 x= 则 y= yE= |DE|=h-|yE|=h- 高|DE|时，船能通过（2） 本小题即为求内含矩形CDEG的最大值。建立目标函数，用基本不等式求解。设E（x0，y0），则 S=2x0(y0+h)=2x0( 当且仅当2x02=a2-x02，x0=时，Smax= M=注：解应用型问题，首先要读懂题意，如本题“船能通过”的含义，然后在正确翻译为数学语言的基础上，建立数学模型。象本题的函数，再用相关数学知识求解。例3、抛物线P过点A（m，6），B（，m），求p的标准方程。解题思路分析：首先应确定点A、B所在象限，由此定抛物线的标准方程类型。象限的区分通过点A、B的坐标符号来讨论。（1） 当m0时，A、B均在第一象限； 设p：y2=2px（P0），则 p：y2=18x 设P：x2=2py（p0)，则 p：（2） 当m0时，点A在第二象限，点B在第四象限，抛物线p的标准方程不存在。 注：含字母问题应从分类讨论的思想着手，找到解题突破口。例4、已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，-4）到焦点F的距离为S，求抛物线的方程和a的值。解题思路分析：不妨设抛物线方程为x2=2my（m0） M在抛物线上 m0 时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x=-3的距离相等 点P轨迹为抛物线，焦点M（3，0），准线x=-3 P=6，抛物线方程为y2=12x当x0），y=0（x0）的准线相切，则p=_。15、设P是抛物线x2=2y上的一点，若P到此抛物线准线距离为8.5，则P点坐标为_。 （三）解答题16、求以点F（1，1）为焦点，以l：-x+y-2=0为准线的抛物线方程。17、已知双曲线C：，抛物线H以C的下顶点为焦点，以原点为顶点，求抛物线H的标准方程与准线方程。18、设M点与F（0，4）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求M点的轨迹方程。19、已知曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线C的方程。20、抛物线C：y2=4ax（a0)上动点M，当M到点A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|0），令x=4，y=-2得p=4，抛物线方程为x2=-8y。4、C。 准线方程为，即y=-a。5、C。 因焦点既在坐标轴上 ，又在直线3x-4y-12=0上，故焦点坐标为（4，0）或（0，-3），当焦点为（4，0）时，抛物线方程为y2=16x；当焦点为（0，-3）时，抛物线方程为x2=-12y。6、B。 抛物线标准方程为x2=ay，焦点为（0，）。7、C。 将方程整理为，该式的几何意义为点M到定点（0，0）的距离等于M到直线3x+4y-12=0的距离，由抛物线定义可知，动点M的轨迹为抛物线。8、B。 准线为x=-1，设P（x0，y0），则|PF|=x0-(-1)=x0+1=10，x0=9，y02=36，y0=6。9、D。 动点P到A的距离等于P到直线y=-2的距离，动点P的轨迹为抛物线，对称轴在y轴上，P=4，方程为x2=8y。10、A。 M到点A与到直线l的距离相等，P=6. （二）填空题11、 （-3，0） 焦点在x轴上，横坐标为。12、 y2=8x 在y=3x-6中，令y=0，得x=2，2p=8。13、 16 点（，0）为焦点，P到直线x=的距离为15，又与间的距离为1，画图可得，P到直线的距离为15+1=16。14、 2 圆心（3，0），半径r=4，抛物线准线x=，|3+|=4，p=2，或p=-14 （舍）。15、 （4，8） 设P（x0，y0），因抛物线准线为y=，y0-()=8.5，y0=8，x02=16，x0=4。 （三）解答题16、解：设抛物线上任一点P（x，y），则由定义得： 两边平方得： 2(x-1)2+(y-1)2=(x-y+2)2展开，整理得： x2+2xy+y2-8x=017、解： 双曲线C的下顶点A（0，） 抛物线H的焦点F（0，） 抛物线方程x2=y，准线l：y=18、解：设点M（x，y），则M与点F（0，4）的距离等于M到直线x=-4的距离 点M轨迹是抛物线，F为焦点，直线x=-4为准线 p=8所求轨迹方程为抛物线y2=16x19、解：设P(x，y)是所求曲线C上任一点，P（x0，y0）是P关于x-y-2=0的对称点则 y0=x02 (x-2)2=(y+2)2整理得：x=y2+4y+6 所求曲线C方程为(y+2)2=x-220、解：（1）设M（x，y）则 |MA|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4ax=x2+2(2a-1)x+1 =x+(2a-1)2+4a-4a2（x0） 当2a-10，a时，x=0时(|MA|2)min=1（舍） 当2a-10，0a时，x=1-2a时(|MA|2)min=4a-4a2此时，|MA|=1 0a0），xAxxB，直线l2：过A作AA1l2，A1为垂足，则|AA1|=|AN|=3 xA= 又 |AM|= |A1M|= yA= =2pxA 由得，或 AMN为锐角三角形 舍去一组解又 |BN|= xB=4 曲线弧C的方程为y2=8x（1x4，y0）例2的解：（1）如图建立坐标系，设抛物线方程为x2=-2py（p0） B(a，-h)在抛物线上 a2=2ph 抛物线方程为 在抛物线方程中令得 |DE|= 货船高不超过时，货船可能通过 （2）设E（x0,y0），则 S= = 当且仅当2x02=a2-x02，x0=时