高二数学同步辅导教材(第12讲)

高二数学同步辅导教材（第12讲）一、本章主要内容8 1 椭圆及其标准方程课本第92页至第97页本讲主要内容1、 椭圆的定义及运用；2、 用待定系数法求椭圆标准方程。二、学习指导 1、椭圆的定义用集合表示为P|PF1|+|PF2|=2a，其中F1、F2是两个定点，2a为定值，2a|F1F2|当2a=|F1F2|时，点P的轨迹为线段F1F2当2ab0。字母x通常写在前面。为了运算简单，有时也用整式形式，如Ax2+By2=1（A0，B0)等。3、 求椭圆的标准方程，主要用待定系数法。其步骤为：（1） 选标准，即判定焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况都有可能；（2） 定参数，通过解方程组的思想求得a2，b2，或c2，a2=b2+c2。 实际上，定参数（a，b，c）是定椭圆的形状，选标准是确定椭圆在坐标系中的位置。四、典型例题 例1、椭圆焦距|F1F2|=4，点P在椭圆上，F1PF2=，若F1PF2的面积S=，求椭圆的标准方程。解题思路分析：因F1PF2的面积可通过S=及S=两种方式转化，故本题有两种解题途径。思路一：如图，建立坐标系，则F1(-7，0)，F2(7，0)，不妨设P(x0，y0)，（x00，y00） 又 ， 直线PF1到直线PF2的角为 P在椭圆上 又 a2-b2=c2=49 联立，解得a2=62，b2=13 所求椭圆方程为当F1，F2在y轴上时，椭圆方程为思路二：不防设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则 r1r2=52在F1PF2中 |F1F2|2=r12+r22-2r1r2cos |F1F2|2=(r1+r2)2-r1r2 142=(2a)2-52 a2=62 b2=a2-c2=13当焦点在x轴上时，椭圆方程为当焦点在y轴上时，椭圆方程为注：思路一偏重于坐标系中的运算，思路二涉及到三个方面的重要知识，一是定义，一般地，当涉及到椭圆上的点到焦点的距离（又称焦半径）时，总是联想到定义，这是解题规律；二是解三角形的知识，如正弦定理，余弦定理等，PF1F2常称为焦点三角形，三是整体计算的思想，如2a=r1+r2，求得r1+r2，即求得2a；对条件r1r2的整体运用等。思路二是先定形状，再定位置。例2、定点A（-1，1），B（1，0），点P在椭圆上运动，求|PA|+|PB|的最值。解题思路分析：B为右焦点若用距离公式建立函数关系再求最值显然行不通考虑用平面几何知识求解解题的突破口是用定义转化|PB|设左焦点为B1（-1，0），则|PB|=2a-|PB1|=4-|PB1| |PA|+|PB|=4+|PA|-|PB1| |PA|-PB1|AB1|当且仅当P、A、B1三点共线时，等号成立 连AB1，延长交椭圆于P1，则|P1A|-|P1B1|=|AB1| 当P在P1时(|PA|-|PB1|)max=|AB1|=1 (|PA|+|PB|)max=5，此时P1（-1，）又 |PA|+|PB|=4+|PA-|PB1|=4-（|PB1|-|PA|） 当|PB1|-|PA|最大时，|PA|+|PB|最小同刚才理由，延长B1、A交椭圆于P2则|PB1|-|PA|AB1|=|P2B1|-|P2A|=1 (|PA|+|PB|)min=3，此时P2（-1，）注：本题关键有二，一是利用定义转化焦半径；二是利用了三角形中边的不等关系，即两边之差小于第三边，如一般情形下，|PB1|-|PA|bc，且a、b、c成等差数列，A、C坐标分别为（-1，0）和（1，0），求顶点B的轨迹。解题思路分析： a、b、c成等差数列 a+c=2b即 |BC|+|BA|=2|AC|=4 A、C为定点，4|AC|2 由椭圆定义知，点B轨迹是以A、C为焦点的椭圆，其方程为根据题设，需检查完备性 abc |BC|BA| 点B在y轴右侧又ABC构成三角形 y0 所求轨迹为椭圆在y轴左侧部分，去掉（-2，0），如图例4、已知椭圆两个焦点坐标是F1（-2，0）、F2（2，0），且经过点P（），试求椭圆的标准方程。解题思路分析：法一：利用待定系数法根据焦点坐标特征，设椭圆方程为（ab0）则 解之得，或 椭圆的标准方程为思路二：已知两焦点及椭圆上一点，利用定义求参数 2a=|PF1|+|PF2|= a2=10 b2=a2-c2=6 所求椭圆方程为注：比较两种方法可知，思路一运算量大，利用定义则可大大减少字母运算，希望同学们重视定义法解题。例5、已知两圆O1：x2+y2+2x-15=0，O2：x2+y2-2x=0（1） 证明两圆内含；（2） 如果P与O1内切，又与O2外切，试求P圆心P的轨迹方程。解题思路分析： （1）O1：(x+1)2+y2=42，O2：(x-1)2+y2=1 圆心O1（-1，0），O2（1，0），半径r1=4，r2=1只需证|O1O2|O1O2|=2 点P轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆，其方程为五、同步练习（一） 选择题1、 焦距为6，焦点在x轴上的椭圆经过点（0，-4），则如椭圆标准方程是A、 B、C、 D、2、 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是A、（3，7） B、（3，5）（5，7） C、（3，5） D、（5，7）3、 过椭圆的一个焦点，且垂直于x轴的直线被此椭圆截得的弦长为A、 B、3 C、 D、4、 若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是（0，-4），则实数k的值是A、 B、8 C、 D、325、已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长是A、10 B、16 C、20 D、326、若关于x、y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲线是椭圆，则方程(x+cos)2+(y+sin)2=1所表示的圆的圆心在 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限7、已知两椭圆ax2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相等，则a的值为A、9或 B、或 C、9或 D、或8、若F是椭圆（ab0）的一个焦点，MN是过中心的一条弦，则FMN面积的最大值是 A、ab B、ac C、bc D、（二） 填空题9、椭圆4x2+2y2=1的焦点坐标是_。10、椭圆上一点P与两焦点恰好构成边长为2的正三角形，则此椭圆标准方程为_。11、中心在原点，以直线3x+4y-12=0与两坐标轴的交点分别作为顶点和焦点的椭圆方程是_。12、对称轴在坐标轴上的椭圆经过点P（3，0），且长轴长是短轴长的三倍，则椭圆方程是_。13、若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是_。14、若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_。15、椭圆ax2+by2+ab=0（ab0）的距离的平方和为常数r2（r），求此动点的轨迹。18、设P是椭圆（ab0）上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点（1） 记F1PF2=，求证；（2） 若|PF1|-|PF2|=2m（m0），求证：F1PF2=19、已知B（8，0），C（-8，0）是ABC的两个顶点，AB、AC上中线长之和为30，分别求重心G和顶点A的轨迹方程。20、过原点的椭圆的一个焦点为F（1，0），其长轴长为4，求椭圆中心的轨迹方程。六、参考答案（一） 选择题1、C。 设两焦点F1（-3，0）、F2（3，0），定点P（0，-4），则2a=|PF1|+|PF2|=，a=5，b2=a2-c2=25-9=16，椭圆方程或用待定系数法：设椭圆方程为（ab0)，则，2、D。 m满足，5mb0）则，当焦点在y轴上时，同理可得b2=9，a2=8113、(3，4)(4，5) 标准方程为，则，14、 k满足，15、 椭圆标准方程为，则-a-b0，c2=-a-(-b)=b-a，焦点（0，）（三） 解答题16、 解：设P（3，4），则圆心为F1F2中点（原点），|F1F2|=2|OP|=10，17、 c=5 F1（-5，0），F2（5，0） 2a=|PF1|+|PF2|= a2=45 b2=a2-c2=20 所求椭圆方程17、解：设动点P（x，y），则整理得：2k2x2+2y2=r2(1+k2)当k2=1，k=1时，方程为x2+y2=r2，轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆当k21，k1时，整理方程得当k1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆当0k1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆18、 证明（1）记|PF1|=r1，|PF2|=r2 F1PF2中，由余弦定理|F1F2|2=r12+r22-2r1r2cosF1PF2 4c2=(r1+r2)2-2r1r2(1+cos)又 r1+r2=2a r1r2= （3） 由得 F1PF2中cosF1PF2