高二数学同步辅导教材(第17讲)

高二数学同步辅导教材（第17讲）一、 本章主要内容8.6抛物线的简单几何性质课本第120页至第123页二、 本讲主要内容1、 抛物线的简单几何性质及运用2、 直线和抛物线的位置关系 三、学习指导1、 抛物线的简单几何性质 （1）自身固有的几何性质 位置关系：焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴；顶点是焦点及焦点在准线上射影的中点； 数量关系：焦点到准线距离为p。离心率e=1，通径长为2p （2）解析性质：以抛物线y2=2px（p0）为例 范围：x0，yR 基本参数：焦点F（，0），准线x=，顶点（0，0） 焦半径：抛物线y2=2px（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=x0+ 抛物线y2=-2px（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=-x0 抛物线x2=2py（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=y0+ 抛物线x2=-2py（p0）上点P（x0，y0）到焦点F距离r=-y02、 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系与直线与椭圆双曲线的位置关系一样，有三种：相离、相交、相切，判断方程仍然是判别式法（法），其中当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线方程与抛物线方程联立消元后所得方程为一元一次方程。所以在用判别式的符号判断直线与抛物线位置关系时，应注意这一退化情形。四、典型例题例1、当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？解题思路分析：直线与抛线线位置关系的判断通过它们的方程构成的方程组的解的情况来判断。由 得：k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0当k=0时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解x=1，原方程组只有一组解，直线y=-2与抛物线只有一个公共点。当k0时，二次方程的=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1)当0得k2-2k-10，当，或时，直线与抛物线有两个公共点由=0得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点由0)焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于R，求证：|PQ|=2|FR|。解题思路分析：引入参数求出|PQ|及|FR|，因PQ是过F的旋转直线系，所以将直线PQ的斜率作为参数。显然直线PQ的斜率存在设直线PQ：由 得：设P（x1，y2），Q（x2，y2），则由抛物线定义得： 为求|FR|，下求点k坐标，设PQ中点（x0，y0）则 ， PQ中垂线方程：）令y=0，得： |FR|= |PQ|=2|FR|注：1、本题在求弦长|PQ|时，因直线PQ过焦点，故采用了定义，简化计算。2、在求PQ中点M坐标时，除了用韦达定理法，还可用点差法，而且因为抛物线方程是非次式，用点差法相对来说简单一些。 y12=2px1 y22=2px2 -得：(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2) x1x2 例3、抛物线C：y2=4x，过点A（0，-2）的直线l交P、Q两点，OP、OQ为邻边作平行四边形CPRQ。（1） 求点R的轨迹方程； （2）是否存在直线l，使四边形OPRQ为正方形，证明你的结论。解题思路分析：本题的关键是如何利用平行四边形的性质找到点R满足的等量关系。利用对角线互相平分，即相对顶点的中点重合的性质较简单，因P、Q为直线与抛物线的中点，故在求PQ中点时，应考虑利用韦达定理。设直线PQ：y=kx-2由得：k2x2-4(k+1)x+4=0（*）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0） POQR为平行四边形 PQ与OR互相平分即 、两式消去k得：y2+4y=4x又因式（*）的=16(k+1)2-16k20 k y00，或y0-8 点R的轨迹方程是y2+4y=4x，y0 （2）平行四边形OPRQ要成为正方形，需要增加两个条件，所以应在定性（垂直等）及定量（相等等）选择适当的条件。由OPOQ得：x1x2+y1y2=0 x1x2+(kx2-2)(kx2-2)=0即 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0由韦达定理得： 由ORPQ得： y0=-6，但y00 l不存在例4、点A在第一象限，点B在第四象限，线段AB过x轴上一定点M（m，0）（m0），且A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过O、A、B三点作抛物线P，求：（1） P的方程；（2） 当tanAOB=-1时，m的取值范围。解题思路分析：用待定系数法求P的方程（1） 设P：y2=2px，直线AB：y=k(x-m)（k0）由得：ky2-2py-2kmp=0设A（x1，y1），B（x2，y2） |y1|y2|=2m，y1y20 2mp=2m，p=1 P：y2=2x （2）由条件tanAOB=-1转化为建立关于m的函数关系，利用函数值域的概念确定m的取值范围。（i） 当直线AB的斜率不存在时由得：A（），B（），代入tanAOB=得：，m2-12m+4=0 又由得：m0，y20 m6+（舍）综上所述，m(0，6-注：在（1）中化简|y1y2|时，通过分析点A、B的位置特征，确定y1y20），O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是A、 8p2 B、4p2 C、2p2 D、p2 2、已知A、B是抛物线y2=2px（p0）上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰好是抛物的焦点，则直线AB的方程是A、x=9 B、x=3p C、x=p D、x=p3、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，则|AB|等于A、10 B、8 C、6 D、44、已知P（4，-1），F为抛物线y2=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点坐标是A、（0，0） B、（4，） C、（4，） D、（，-1）5、方程所表示的曲线形状是 A B C D6、过（0，20的直线l与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l共有A、1条 B、2条 C、3条 D、4条7、设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为两部分，它们的长度分别为m和n，则m与n的关系是A、m+n=4 B、mn=4 C、m+n=mn D、m+n=2mn8、抛物线y2=2px（p0）的动弦A降为a（ap），则弦AB中点M到y轴的最短距离为A、 B、 C、 D、9、抛物线y=x2上点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是A、（） B、（1，1） C、（） D、（2，4）10、边长为1的正AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是A、 B、 C、 D、（二） 填空题11、抛物线y2=-12x一条弦AB的中点M（-2，-3），则此弦所在直线方程是_。12、过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为的弦AB，若|AB|8，则的取值范围是_。13、已知直线l：y=mx-4与抛物线C：y2=8x只有一个公共点，则实数m=_。14、已知直线l与抛物线y2=8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点，A点坐标为（8，8），则线段AB中点到准线的距离是_。15、若抛物线y2=2ax与椭圆有共同的焦点，则a=_。 （三）解答题16、若抛物线y2=2px（p0）上一点P到准线及对称轴距离分别是10和6，求P点横坐标及抛物线方程。17、求与直线l：x=-2相切且过点A（2，0），圆心在直线4x-5y+12=0上的圆方程。18、已知抛物线y2=4ax（a0)的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN中点。（1） 求|AM|+|AN|的值；（2） 问是否存在这样的a值，使|AM|，|AP|，|AN|成等差数列。19、A、B是抛物线y2=2px（p0）上两点，OAOB（O为原点），求证： （1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值； （2）直线AB经过一定点。20、已知抛物线y2=2px（P0）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1x20，0a0得：，或时，直线与抛物线有两个公共点由=0得：k=，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点由0得：，或，此时直线与抛物线无公共点综上所述，当k=0，或k=时，直线与抛物线只有一个公共点； 当k0，或0k时，直线与抛物线有两个公共点； 当k时，直线与抛物线无公共点。例2的解：设直线PQ：由 得：设P（x1，y2），Q（x2，y2），则由抛物线定义得： 设PQ中点（x0，y0）则 ， PQ中垂线方程：）令y=0，得： |FR|= |PQ|=2|FR|例3的解：设直线PQ：y=kx-2由得：k2x2-4(k+1)x+4=0（*）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0）则， POQR为平行四边形 PQ与OR互相平分 消去k得：y2+4y=4x 式（*）的=16(k+1)2-16k20 k y00，或y0-8 点R的轨迹方程是y2+4y=4x（y0） （2）由OPOQ得：x1x2+y1y2=0 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0 由ORPQ得： 代入y02+4y0=4x0得：y02+6y0=0 y0=0，或y0=-6但y0-8，或y00 舍去 满足条件的直线l不存