《利息度量》PPT课件

1,利息的度量：名义利率、名义贴现率、利息力,2,上节主要内容回顾,实际利率（i）利息/期初本金实际贴现率（d）利息/期末累积值i与d之间的关系（下页）：,期初本金,期末累积值,利息期末累积值期初本金,3,0,1,1,1+i,i,1-d,d,1,v,1,1-v,4,累积函数：,贴现函数：,5,问题：,考虑下述两笔贷款：贷款100万，年利率为12，每年末支付一次利息，每次支付12万。贷款100万，年利率为12，每月末支付一次利息，每次支付1万。这两个利率有何不同？你愿意选择那笔贷款？为什么？答案：第一个12是年实际利率，第二个是年名义利率,对应的年实际利率为12.68。,6,本节主要内容：,名义利率（nominalrateofinterest）名义贴现率（nominalrateofdiscount）利息力（forceofinterest）实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力的关系。,7,实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金。名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。,何谓名义利率？,8,名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率。例如：假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%12=12%。如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%4=12%。,9,年名义利率i(m)（m1，为整数）表示每年结转m次利息，即每1/m年支付一次利息，每次的实际利率为i(m)/m。例：i(4)=8表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2。例：i(12)=6表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5。问题：三个月定期存款的年利率为1.8，含义是什么？答案：表明i(4)1.8%，三个月的实际利率为1.8%4，存1000元满3个月可得利息10001.8/4=4.5元。,名义利率的定义,10,名义利率与实际利率的关系：名义利率与等价的实际利率有如下关系：或者由实际利率i也可以计算名义利率i(m)，即,11,例：贷款100万，年利率为12，每月末支付一次利息，每次支付1万。求等价的年实际利率是多少？解：问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？,12,在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利次数）越多，年实际利率将越大。年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况,13,问题：年名义利率一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？,14,名义利率图,15,Example：Findtheaccumulatedvalueof$500investedforfiveyearsat8%perannumconvertiblequarterly.Solution：8%perannumconvertiblequarterly,16,Example：Ifiis5%,whatistheequivalenti(4).ifi(4)=5%,whatistheequivalenti?,17,命题当m1时，i(m)1）定义：名义贴现率d(m)是每1/m时期之始支付一次贴现值。也就是每1/m时期的实际贴现率是d(m)/m。由等价的定义重新整理得,27,名义贴现率图,28,Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名义贴现率为6，每半年贴现一次，第6年末的值为$1000，求其现值）解：这相当于按3的贴现率计算在12年末支付$1000的现值。,29,名义利率与名义贴现率的关系,（1）一般情况（2）mp（3）如果把i(m)/m和d(m)/m看作1/m计息期内等价的实际利率和实际贴现率，则,30,例：确定季度转换的名义利率，使它等价于月度转换的6的名义贴现率。解：，,31,例：ifd(4)=5%,whatistheequivalenti?解：,32,例：已知i(12)=5.58%。求i、d、d(12)、v解：,33,由本例可以验证如下不等式：,问题：你能推测出一个一般性规律吗？,34,讨论题,某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调为4%。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率为1%。1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景：情景1：2007年1月末需要使用这笔存款。情景2：存款到期后自动转存。,35,情景1：2007年1月末需要使用这笔存款。转存：都是1年定期和30天活期情景2存款到期后自动转存。考虑1年零30天后的累积值：,36,期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：,名义利率：,名义贴现率：,37,年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）。问题：如何度量资金在每一个时点上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度。,38,1.9利息力(forceofinterest),定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。假设A(t)为t时的金额函数，在时间区间t,t+h的实际利率为年名义利率为（1年包含1/h个小区间）,39,为区间t,th的利息增长强度。为在时刻t的利息增长强度（即利息力）。数学定义：设积累函数连续可导，则时刻t的利息力为,40,累积函数和贴现函数的另一种表达式：用r代替t，并将此式两边在0到t积分，得从而有,因为,41,单利在t时刻的利息力,因为所以时刻t的利息力为单利的利息力是时间的递减函数。,42,单贴现的利息力是时间的递增函数。,单贴现在t时刻的利息力,43,复利在时刻t的利息力,因为所以时刻t的利息力为复利的利息力是常数！与时间无关。称为复利的利息力。,44,问题：复贴现在时刻t的利息力？,因为所以时刻t的利息力为复贴现的利息力是常数！与时间无关。问题：与复利的利息力有何关系？,45,常数利息力,从理论上讲，利息力是可以随时变化的。但实际中的利息力通常是常数，即,在常数利息力下，累积函数可简化为,注：当利息力为常数时，实际利率也是常数。但是，当实际利率为常数时，利息力未必是常数。为什么？（见下例）。,46,假设年实际利率为i，则根据累积函数的公式有,d1和d2有无穷多种取值。,47,对利息力的另一个解释：,当m趋于无穷时的名义利率就是利息力：,48,问题：当p趋于无穷时的名义贴现率d(p)与利息力有何关系？,49,d与i,d,i(m),d(m)的关系,d,i,（证明略）,50,例：已知金额函数为并且求t1/2时的利息力。解：首先解出m、k、l，,51,从而，,52,例：基金A以利息力函数累积；基金B以利息力函数累积。分别用和表示它们的累积函数。令，计算使达到最大的时刻T。,53,解：由题设条件有因此根据h(t)的定义得h(t)=t2t2，h(t)=14t，因此当t1/4时，h(t)达到最大。,54,1.10贴现力(forceofdiscount),用贴现函数a-1(t)代替积累函数，在t时刻的贴现力为增加一个负号使得贴现力为正。利息力与贴现力相等：。因为：,55,1.10利率概念辨析,实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。用i表示名义利率，用r表示实际利率，用表示通货膨胀率，则有(1+i)=(1+r)(1+)i=r+r此式可近似表示为ir+或ri即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率。,56,利率和贴现率：在某些经济学文献中，利率和贴现率是使用频率很高的两个概念，但这两个概念也经常被混淆。尤其是在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率。计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力等。,57,小结,58,59,例：在2000年1月1日,小王在银行账户存入X