《初等矩阵及其性质》PPT课件

第五节初等矩阵（ElementaryMatrix）及其性质,初等矩阵的概念与性质用初等变换求逆矩阵问题与思考,第二章矩阵概念及其运算,一、初等矩阵的概念与性质,【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.,初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、Eij（k）；,如对三阶单位矩阵,E23=,（1）Eij:交换单位矩阵的第行（列），得到的初等矩阵,:单位矩阵E的第行（列）元素乘以常数，得到的初等矩阵,E3（k）=,如对三阶单位矩阵,：单位矩阵的第行(第列)乘以常数加到第行(第列)，得到的初等矩阵,如对三阶单位矩阵,E12（k）=,1）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.,初等矩阵有以下性质：,行变换：,如：,用初等矩阵表示矩形框里的矩阵：,2）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:,行变换：,3）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：,【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，,Pk，使,A=P1P2Pk.,【证】,充分性:设有初等阵P1，P2，,Pk,使,A=P1P2Pk.,因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。,即A=P1P2Pk,必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=n,A经初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等变换可以将E变成A，,存在有限个初等阵P1,P2,Pl,Pl+1,Pk,使,A=P1P2PlEPl+1Pk,证毕,二、用初等变换求逆矩阵,【推论1】两个型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.,证,A与B等价存在有限个阶初等矩阵,及有限个阶,初等矩阵使,令,由定理2-4知P是阶可逆矩阵,Q为阶可逆矩阵,且PAQ=B,R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A),【推论2】设A是矩阵,P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵.则,【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.,这表明,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.,【证推论3】,因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2.4存在初等阵P1,P2,Ps,使,A-1=P1P2Ps,因为A-1A=E于是有P1,P2,PsA=E,二、用初等变换求逆矩阵,得:P1P2PsA=EP1P2PsE=A-1,1.用初等变换求逆矩阵,设A是n阶可逆矩阵,则A-1也可逆。,从而存在初等阵P1,P2,Ps,由A-1A=E;A-1E=A-1;,结论:若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1,用初等变换求逆矩阵的方法:,2)做初等行变换,例1,求A的逆矩阵,其中,【解】,由于,所以:,注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆,如上例:,=A-1,2.用初等变换解矩阵方程,（1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B,由A-1A=E;A-1B=X;,设:A-1=P1P2Ps(Pi为初等矩阵),得:P1P2PsA=EP1P2PsB=X,解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:,（2）当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩阵方程:XA=B?,想一想,例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中,解:,由于,所以,例3,设矩阵矩阵满足,其中是的伴随矩阵，求.,例四页,解：,三、小结,1.初等行(列)变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,变换类型相同,3.矩阵等价具有的性质,5.初等变换的应用,用初等变换求逆矩阵的方法:,用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:,用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:,作业：6页习题2-51;2;36页总习题二6;,四、问题与思考习题2-4,1.矩阵A可逆,且则A=;,2.设矩阵方程:则X=;,问题与思考答案,练习将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.,注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初等