高中数学易错、易混、易忘题分类汇编2

高中数学易错、易混、易忘题分类汇编高中数学易错、易混、易忘题分类汇编 【易错点易错点 42】向量与解析几何的交汇向量与解析几何的交汇 例例 4242、 （0303 年新课程高考）已知常数年新课程高考）已知常数a0a0，向量，向量c=c=（0 0，a a） ，i=i=（1 1，0 0） ，经过原点经过原点 O O 以以c+ic+i为方向向量为方向向量 的直线与经过定点的直线与经过定点A A（0 0，a a）以以i i2c2c为方向向量的直线相交于点为方向向量的直线相交于点P P，其中，其中RR. .试问：是否存在两个试问：是否存在两个 定点定点E E、F F，使得使得|PE|+|PF|PE|+|PF|为定值为定值. .若存在，求出若存在，求出E E、F F的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由. . 【易错点分析易错点分析】此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量此题综合程度较高，一方面学生对题意的理解如对方向向量的概念的理解有误，另一面在向量 的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义来解答，使思维陷入僵局。 解析：根据题设条件，首先求出点解析：根据题设条件，首先求出点 P P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点 P P 到两定点距离的到两定点距离的 和为定值和为定值. .i=i=（1 1，0 0） ，c=c=（0 0，a a） ， c+i=c+i=（，a a） ，i i2c=2c=（1 1，2a2a）因此，直线因此，直线 OPOP和和APAP的方程分别为的方程分别为 和和 . .消去参数消去参数 ，得点，得点的坐标满足方程的坐标满足方程 axy axay2),(yxP . .整理得整理得 因为因为所以得：（所以得：（i i）当）当时，方程时，方程是是 22 2)(xaayy . 1 ) 2 ( ) 2 ( 8 1 2 2 2 a a y x, 0a 2 2 a 圆方程，故不存在合乎题意的定点圆方程，故不存在合乎题意的定点 E E 和和 F F；（；（iiii）当）当时，方程时，方程表示椭圆，焦点表示椭圆，焦点 2 2 0 a 和和为合乎题意的两个定点；（为合乎题意的两个定点；（iiiiii）当）当时，方程时，方程也表示椭圆，也表示椭圆， ) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aE) 2 , 2 1 2 1 ( 2 a aF 2 2 a 焦点焦点和和为合乎题意的两个定点为合乎题意的两个定点. . ) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 aaE) 2 1 ( 2 1 , 0( 2 aaF 【知识点归类点拔知识点归类点拔】本小题主要考查平面向量的概念和计算本小题主要考查平面向量的概念和计算, ,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定 曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成 为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方面也要注意应用向 量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、点共线等问题，提高自已应用向 量知识解决解析几何问题的意识。量知识解决解析几何问题的意识。 【练练 42】 （1） （2005 全国卷全国卷 1）已知椭圆的中心为坐标原点）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在，焦点在轴上，斜率为轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点且过椭圆右焦点 F 的的x 直线交椭圆于直线交椭圆于 A、B 两点，两点，与与共线。共线。 （）求椭圆的离心率；（）求椭圆的离心率；（）设）设 M 为椭圆上任为椭圆上任OBOA) 1, 3( a 意一点，且意一点，且，证明，证明为定值。为定值。),( ROBOAOM 22 答案：（答案：（1）（2）=1 6 3 e 22 （2） （02 年新课程高考天津卷）年新课程高考天津卷）已知两点已知两点 M（-1，0） ，N（1，0） ，且点，且点 P 使使，,MP MN PM PN 成公差小于零的等差数列（成公差小于零的等差数列（1）点）点 P 的轨迹是什么曲线？（的轨迹是什么曲线？（2）若点）若点 P 坐标为（坐标为（） ，记，记为为NM NP , oo xy 与与的夹角，求的夹角，求；答案：；答案：点点 P 的轨迹是以原点为圆心，的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆为半径的右半圆tan=|y | PM PN tan3 0 （3） （2001 高考江西、山西、天津）设坐标原点为高考江西、山西、天津）设坐标原点为 O，抛物线，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于与过焦点的直线交于 A、B 两点，则两点，则 等于（等于（ ）A. B. C.3 D.3 答案：答案：BOBOA 4 3 4 3 【易错点易错点 43】解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。 例例 43、已知椭圆、已知椭圆 C：上动点上动点到定点到定点,其中其中的距离的距离的最小值为的最小值为 22 1 42 xy P,0M m02mPM 1.（1）请确定）请确定 M 点的坐标（点的坐标（2）试问是否存在经过）试问是否存在经过 M 点的直线点的直线 ,使使 与椭圆与椭圆 C 的两个交点的两个交点 A、B 满足条件满足条件ll （O 为原点）为原点）,若存在若存在,求出求出 的方程的方程,若不存在请说是理由。若不存在请说是理由。OAOBAB l 【思维分析思维分析】此题解题关键是由条件此题解题关键是由条件知知从而将条件转化点的坐标运算再结从而将条件转化点的坐标运算再结OAOBAB 0OA OB 合韦达定理解答。合韦达定理解答。 解析：设解析：设，由，由得得故故,p x y 22 1 42 xy 2 2 2 1 4 x y 2 22 2 1 4 x PMxm 由于由于且且故当故当时，时，的的 2 2 2 1 2 122 42 x xmm 02m22x 022m 2 PM 最小值为最小值为此时此时，当，当时，时，取得最小值为取得最小值为解得解得 2 21m1m 224m2x 2 2421mm 不合题意舍去。综上所知当不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时是满足题意此时 M 的坐标为（的坐标为（1，0） 。1,3m 1m （2）由题意知条件）由题意知条件等价于等价于，当，当 的斜率不存在时，的斜率不存在时， 与与 C 的交点为的交点为OAOBAB 0OA OB ll ，此时，此时，设，设 的方程为的方程为，代入椭圆方程整理得，代入椭圆方程整理得 6 1, 2 0OA OB l1yk x ，由于点，由于点 M 在椭圆内部故在椭圆内部故恒成立，由恒成立，由知知 2222 124240kxk xk0 0OA OB 即即，据韦达定理得，据韦达定理得， 1212 0 x xy y 222 122 110kx xkxk 2 12 2 4 12 k xx k 代入上式得代入上式得得得不合题意。不合题意。 2 12 2 24 12 k x x k 222222 1244120kkkkkk 2 4k 综上知这样的直线不存在。综上知这样的直线不存在。 【知识点归类点拔知识点归类点拔】在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系 起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。 【练练 43】已知椭圆的焦点在已知椭圆的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点，以右焦点轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准线截的的圆被右准线截的 2 F 1 F 两段弧长之比两段弧长之比 2:1,为此平面上一定点，且为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（）求椭圆的方程（2）若直线）若直线 2,1P 12 1PFPF 与椭圆交于如图两点与椭圆交于如图两点 A、B，令，令。求函数。求函数的值域答的值域答10ykxk 12 0f kABF Fk f k 案：（案：（1）（2） 22 1 42 xy 0,8 例例 45、 （2005 高考福建卷）已知函数高考福建卷）已知函数的图象过点的图象过点 P（0，2） ，且在点，且在点daxbxxxf 23 )( M（1，f（1） ）处的切线方程为）处的切线方程为. （）求函数）求函数的解析式；的解析式；076 yx)(xfy 【思维分析思维分析】利用导数的几何意义解答。利用导数的几何意义解答。 解析：（解析：（）由）由的图象经过的图象经过 P P（0 0，2 2） ，知，知 d=2d=2，所以，所以)(xf, 2)( 23 cxbxxxf 由在由在处的切线方程是处的切线方程是，知，知.23)( 2 cbxxxf)1(, 1(fM076 yx 故故. 6) 1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即 . 3 , 0 , 32 . 121 , 623 cb cb cb cb cb 解得即 所求的解析式是所求的解析式是 . 2 33)( 23 xxxxf 【知识点归类点拔知识点归类点拔】导数的几何意义导数的几何意义: :函数函数 y=f(x)y=f(x)在点在点处的导数，就是曲线处的导数，就是曲线 y=(x)y=(x)在点在点处的处的 0 x)(,( 00 xfxP 切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)(1)求出函数求出函数 y=f(x)y=f(x)在点在点处的导处的导 0 x 数，即曲线数，即曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点处的切线的斜率；处的切线的斜率；(2)(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线)(,( 00 xfxP 方程为方程为 特别地，如果曲线特别地，如果曲线 y=f(x)y=f(x)在点在点处的切线平行于处的切线平行于 y y 轴，这轴，这)( 000 xxxfyy)(,( 00 xfxP 时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 。利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解 利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解 0 xx 析几何综合试题中，复习时要注意到这一点析几何综合试题中，复习时要注意到这一点. . 【练练 45】45】 （1 1） （20052005 福建卷）已知函数福建卷）已知函数的图象在点的图象在点M M（1 1，f(x)f(x)）处的切线方程为处的切线方程为 bx ax xf 2 6 )( x x+2y+5=0.+2y+5=0. （）求函数）求函数y=f(x)y=f(x)的解析式；答案：的解析式；答案： 3 62 )( 2 x x xf （2） （2005 高考湖南卷）设湖南卷）设，点，点 P P（ ，0 0）是函数）是函数的图象的一个的图象的一个0ttcbxxgaxxxf 23 )()(与 公共点，两函数的图象在点公共点，两函数的图象在点 P P 处有相同的切线处有相同的切线. .（）用）用 表示表示a a，b b，c c；答案：；答案：故，t. 3 tabc 2 ta ，tb . 3 tc 【易错点易错点 46】46】利用导数求解函数的单调区间及值域。利用导数求解函数的单调区间及值域。 例例 4646、( ( 20052005 全国卷全国卷 III)III)已知函数已知函数，（）求）求的单调区间和值域；的单调区间和值域； 2 47 2 x f x x 01x， f x （）设）设，函数，函数，若对于任意，若对于任意，总存在，总存在使使1a 22 3201g xxa xax， 1 01x ， 0 01x ， 得得成立，求成立，求的取值范围。的取值范围。 01 g xf xa 【易错点分析易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解不等 式的运算能力第（式的运算能力第（）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数在区间在区间上的值域是函上的值域是函 yg x 01 ， 数数的值域的子集，从而转化为求解函数的值域的子集，从而转化为求解函数在区间在区间上的值域。上的值域。 f x yg x 01 ， 解析解析() ，令，令解得解得或或,在在 2 22 22 4167(21)(27) ( ) 22 xxxx fx xx ( )0fx 1 2 x 7 2 x ，所以所以为单调递减函数；在为单调递减函数；在，所以所以为单调递增为单调递增 1 (0, ) 2 x( )0,fx( )f x 1 ( ,1) 2 x( )0,fx( )f x 函数；又函数；又，即，即的值域为的值域为-4，-3，所以，所以的单调递减区间为的单调递减区间为 71 (0),(1)3,( )4 22 fff ( )f x( )f x ，的单调递增区间为的单调递增区间为，的值域为的值域为-4，-3.( 单调区间为闭区间也可以单调区间为闭区间也可以). 1 (0, ) 2 ( )f x 1 ( ,1) 2 ( )f x （）,又又，当，当时，时， 22 ( )3()g xxa1a (0,1)x 2 ( )3(1)0g xa 因此，当因此，当时，时，为减函数，从而当为减函数，从而当时，有时，有.(0,1)x( )g x0,1x( ) (1), (0)g xgg 又又，即当，即当时，有时，有， 2 (1)1 23, (0)2gaaga 0,1x 2 ( )1 23, 2 g xaaa 任给任给，有，有，存在，存在使得使得，10,1x 1( ) 4, 3f x 00,1x 01()( )g xf x 则则又又，所以，所以的取值范围是的取值范围是。 2 5 1, 1 234 3 323 2 aa aa a a 或 1a a 2 1 3 a 【知识点分类点拔知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解 析几何中的应用，主要有以下几个方面：析几何中的应用，主要有以下几个方面：运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的 热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用热点内容另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用 函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题用导数研究函数的性质比 用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为 20062006 年高考命题重点应引起高度注意年高考命题重点应引起高度注意单调区间单调区间 的求解过程，已知的求解过程，已知 （1 1）分析）分析 的定义域；的定义域； （2 2）求导数）求导数 （3 3）解不等式）解不等式)(xfy )(xfy )(xfy ，解集在定义域内的部分为增区间（，解集在定义域内的部分为增区间（4 4）解不等式）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间，解集在定义域内的部分为减区间，0)( x f0)( x f 对于函数单调区间的合并对于函数单调区间的合并: :函数单调区间的合并主要依据是函数函数单调区间的合并主要依据是函数在在单调递增，在单调递增，在单调递增，单调递增，)(xf),(ba),(cb 又知函数在又知函数在处连续，因此处连续，因此在在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单bxf)()(xf),(ca 调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 【练练 46】 （1） （2005 高考北京卷）已知函数高考北京卷）已知函数f(x)=f(x)=x x3 33x3x2 29x9xa,a, （I I）求）求f f( (x x) )的单调递减区间；的单调递减区间； （IIII）若）若f(x)f(x)在区间在区间 2 2，22上的最大值为上的最大值为 2020，求它在该区间上的最小值答案：（，求它在该区间上的最小值答案：（1）（，1） ， （3，） （2）7 （2）(2005 全国卷全国卷 III)用长为用长为 90cm,宽为宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方先在四角分别截去一个小正方 形形,然后把四边翻转然后把四边翻转 90角角,再焊接而成再焊接而成(如图如图),问该容器的高为多少时问该容器的高为多少时,容器的容积最大容器的容积最大?最大容积是多少最大容积是多少? 答案：当答案：当x=10 时时,V 有最大值有最大值 V(10)=1960 例例 5555、在等比数列、在等比数列中，中，且，且 n n 项和项和，满足，满足那么那么的取值范围是（的取值范围是（ ） n a 1 1a n S 1 1 lim, n n S a 1 a A A、 B B、 C C、 D D、1, 1,21,21,4 【易错点分析易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式利用无穷递缩等比数列的各项和公式，求，求的范围时，容易忽视的范围时，容易忽视这个条件。这个条件。 1 1 a s q 1 a0q 解析：设公比为解析：设公比为 q q，由，由知知 1 1 lim n n S a 所以所以。 1 2 11 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 11 1102 111 1 10 00 a qaaq aa qqa a a qq 又 1 12a 【知识点归类点拨知识点归类点拨】对于对于，公比的绝对值小于，公比的绝对值小于 1 1 的无穷等比数列前的无穷等比数列前 n n 11 lim01 11 n n qq qq qq 存在或 不存在或 项和在项和在 n n 无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 【练练 55】55】，求，求 a a 的取值范围。的取值范围。 1 31 lim 3 31 n n n n a 解析：解析： 1 3111 limlimlim0 33 131 3 3 1 1,42 3 n n nn n nnn a aa a a 【易错点易错点 56】立体图形的截面问题。立体图形的截面问题。 例例 56、 （2005 哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体-，E、F 分别是分别是、ABCD 1111 A BC D 1 AA 的中点，的中点，p 是是上的动点（包括端点）上的动点（包括端点） ，过，过 E、D、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹的轨迹 1 CC 1 CC 是（）是（） A、 线段线段B、线段、线段C、线段、线段和一点和一点D、线段、线段和一点和一点 C。 1 C FCFCF 1 C 1 C F 【易错点分析易错点分析】学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线。 解析：如图当点解析：如图当点 P 在线段在线段上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线 DE 平行于平面平行于平面，则过，则过CF 11 BBCC DE 的截面的截面 DEP 与平面与平面的交线必平行，因此两平面的交线为过点的交线必平行，因此两平面的交线为过点 P 与与 DE 平行的直线，由于点平行的直线，由于点 P 在在 11 BBCC 线段线段 CF 上故此时过上故此时过 P 与与 DE 平行的直线与直线平行的直线与直线的交点在线段的交点在线段上，故此时截面为四边形（实质上是平上，故此时截面为四边形（实质上是平 1 BB 1 BB 行四边形）行四边形） ，特别的当，特别的当 P 点恰为点点恰为点 F 时，此时截面为时，此时截面为也为平行四边形，当点也为平行四边形，当点 P 在线段在线段上时如图上时如图 1 DEFB 1 C F 分别延长分别延长 DE、DP 交交、于点于点 H、G 则据平面基本定理知点则据平面基本定理知点 H、G 既在平既在平 11 A D 11 DC 截面截面 DEP 内也在平面内也在平面内，故内，故 GH 为两平面的交线，连结为两平面的交线，连结 GH 分别交分别交、于点于点 K、N（注（注 1111 A BC D 11 A B 11 BC 也有可能交在两直线的延长线上）也有可能交在两直线的延长线上） ，再分别连结，再分别连结 EK、KN、PN 即得截面为即得截面为 DEKNP 此时为五边形。故选此时为五边形。故选 C 【知识知识 点归类点拔点归类点拔】高考高考 对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面 面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两 种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内 和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线） （注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明 其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依 据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上） 据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的 公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线公共点，并且两交点的连线即为两平的交线。另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线 面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用。 【练练 56】 （1） （2005 高考全国卷二）正方体高考全国卷二）正方体 ABCDA1 B1 C1 D1中，中，P P、Q Q、R R、分别是、分别是 ABAB、ADAD、B B1 1 C C1 1的中点。的中点。 那么正方体的过那么正方体的过 P P、Q Q、R R 的截面图形是（）的截面图形是（） （A A）三角形）三角形 （B B）四边形）四边形 （C C）五边形）五边形 （D D）六边形）六边形 答案：答案：D D （2）在正三棱柱）在正三棱柱-中，中，P、Q、R 分别是分别是、的中点，作出过三点的中点，作出过三点 P、Q、R 截截ABC 111 A BCBC 1 CC 11 AC 正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。正三棱柱的截面并说出该截面的形状。答案：五边形。 例例 5858、如图，、如图，矩形矩形 ABCDABCD 所在的平面，所在的平面，M M，N N 分别为分别为 ABAB，PCPC 的中点。求证：的中点。求证：平面平面PA /MNPAD 易错点分析易错点分析 ：在描述条件中，容易忽视：在描述条件中，容易忽视。,AEPAD MNPAD面面 P F ED1 C1 B1 A1 C B D A K N H G P F ED1 C1 B1 A1 C B D A 解析：取解析：取 PDPD 中点中点 E E，连结，连结 AEAE，ENEN，则有，则有，/ENCDABAM 为平行四边形，为平行四边形， 11 22 ENCDABAM AMEN/MNAE ,AEPAD MNPAD面面/MNPAD面 知识点归类点拨知识点归类点拨 判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指 的直线是指平面外的一条直线与的直线是指平面外的一条直线与平行于平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可。 【练习练习 5858（20052005 浙江）如图，在三棱锥浙江）如图，在三棱锥 P PABCABC 中，中，,ABBC ABBCkPA 点点 O O，D D 分别为分别为 ACAC，PCPC 的中点，的中点，平面平面求证：求证：OD/OD/平面平面 PABPABOP ABC 证明：证明：分别为分别为 ACAC、PCPC 的中点的中点,O D/,ODPA 又又平面平面PA,PAB ,/PAPAB ODPABODPAB平面平面平面 【易错点易错点 59】59】对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为对于两个平面平行的判定定理易把条件误记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两 条相交直线分别平行条相交直线分别平行” ，容易导致证明过程跨步太大。，容易导致证明过程跨步太大。 例例 5959、如图，在正方体、如图，在正方体中，中，M M、N N、P P 分别是分别是的中点，的中点， 1111 ABCDABC D 11111 ,C C BC C D 求证：平面求证：平面 MNP/MNP/平面平面 1 ABD 【易错点分析易错点分析】本题容易证得本题容易证得 MN/MN/,MP/BD,MP/BD，而直接由此得出而直接由此得出 1 AD 面面 1 /MNPABD面 解析：连结解析：连结分别是分别是的中点，的中点， 111 ,B D B CP N 1111 ,DC BC 11 /,PNB D 11/ ,/B DBDPN BD 又又同理：同理： 11 ,/PNABDPNABD面平面 1 /,MNABDPNMNN平面又 。 1 /DMNABD平面平面 【知识点归类点拨知识点归类点拨】个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，个平面平行问题的判定或证明是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题， 即即“线面平行则面面平行线面平行则面面平行” ，必须注意这里的，必须注意这里的“线面线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面，定理中的 条件缺一不可。条件缺一不可。 【练练 59】59】正方体正方体中，中， （1 1）M M，N N 分别是棱分别是棱的的 1111 ABCDABC D 1111 ,AB AD 中点，中点，E E、F F 分别是棱分别是棱的中点，的中点，求证：求证：EE、F F、B B、D D 共面；共面； 1111 ,BC C D 平面平面 AMN/AMN/平面平面 EFDBEFDB平面平面/平面平面 11 AB D 1 C BD 证明：（证明：（1 1）则则 E E、F F、B B、D D 共面。共面。 1111 /,/,EFB D B DBDEFBD 易证：易证：MN/EFMN/EF，设，设 1111 ,ACMNP ACEFQ ACBDO C B A P D O A P N M E D C B A B P C D M N E /,/PQAO PQAOPAOQ/AMNEFDB平面平面 连结连结 ACAC，为正方体，为正方体，同理可证，同理可证 1111 ABCDABC DACDB 11 ,AAABCDACBD平面 于是得于是得 11 ACBC 111!1 ,ACC BDACABD平面同理可证平面 111 /AB DC BD面面 【易错点易错点 60】60】求异面直线所成的角，若所成角为求异面直线所成的角，若所成角为，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。，容易忽视用证明垂直的方法来求夹角大小这一重要方法。 0 90 例例 6060、 （20012001 全国全国 9 9）在三棱柱）在三棱柱中，若中，若，则，则所成角的大小为（所成角的大小为（ 111 ABCABC 1 2ABBB 11 ABC B与 ）A A、 B B、 C C、 D D、 0 60 0 90 0 105 0 75 【易错点分析易错点分析】忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。忽视垂直的特殊求法导致方法使用不当而浪费很多时间。 解析：如图解析：如图分别为分别为中点，中点， 1, D D 11, BC BC 连结连结，设，设 1 ,AD DC 1 1,2BBAB则 则则 ADAD 为为在平面在平面上的射影。又上的射影。又 1 AB 1 BC 1 1 322 ,cos, 323 BC BEBDC BC BC 222 1 2cosDEBEBDBE BDC BC 113221 2 32326 3 而而垂直。垂直。 2220 111 ,90 362 BEDEBDBED 11 ABC B与 【知识点归类点拨知识点归类点拨】求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，对特殊的角，如时，可以采时，可以采 0 90 用证明垂直的方法来求之。用证明垂直的方法来求之。 【练练 60】60】 （20052005 年浙江年浙江 1212） 设设 M M，N N 是直角梯形是直角梯形 ABCDABCD 两腰的中点，两腰的中点，于于 E EDEAD （如图）（如图） ，现将，现将沿沿 DEDE 折起，使二面角折起，使二面角ADE 为为，此时点，此时点 A A 在平面在平面 BCDEBCDE 内的内的ADEB 0 45 射影恰为点射影恰为点 B B，则，则 M M，N N 的连线与的连线与 AEAE 所成的角的所成的角的 大小等于大小等于 。 解析：易知解析：易知取取 AEAE 中点中点 Q Q，连，连 MQMQ，BQBQ 00 45 ,90 ,AEBABEABBE ，N N 为为 BCBC 的中点的中点 11 /,/, 22 MQDE MQDE DEBC DEBC ，即，即 M M，N N 连线与连线与 AEAE 成成角。角。/,/MQBN MQBNBQMN,BQAEMNAE 0 90 【易错点易错点 61】61】在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错在求异面直线所成角，直线与平面所成的角以及二面角时，容易忽视各自所成角的范围而出现错 误。误。 例例 6161、如图，在棱长为、如图，在棱长为 1 1 的正方体的正方体中，中，M M，N N，P P 分别为分别为的中点。求异的中点。求异 1111 ABCDABC D 1111 ,AB BB CC 面直线面直线所成的角。所成的角。 1 ,D PAM CNAM与与 易错点分析易错点分析 异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余 00 0 ,90 弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。 解析：如图，连结解析：如图，连结，由，由为为中点，中点， 1 AN,N P 11 ,BB CC 则则从而从而 1111 /,PNAD PNAD 11 /AND P 故故 AMAM 和和所成的角为所成的角为所成的角。所成的角。 1 D P 1 AMD P和 易证易证。所以。所以， 1 Rt AAM 11 Rt AB N 1 ANAM 故故所成的角为所成的角为。 1 D PAM与 0 90 又设又设 ABAB 的中点为的中点为 Q Q，则，则又又从而从而 CNCN 与与 AMAM 所成的角就是所成的角就是 11 /,.BQAM BQAM 11 /,CNB P CNB P （或其补角）（或其补角） 。 1 PBQ 易求得易求得在在中，由余弦定理得中，由余弦定理得， 11 56 ,. 22 BQB PPQ 1 PBQ 1 2 cos 5 PBQ 故故所成的角为所成的角为。CNAM与 2 arccos 5 【知识点归类点拨知识点归类点拨】在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线在历届高考中，求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，两条异面直线 所成的角的范围：所成的角的范围：；直线与平面所成角的范围：；直线与平面所成角的范围：；二面角的平面角的取值范围：；二面角的平面角的取值范围： 00 090 00 090 。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联。同时在用向量求解两异面直线所成的角时，要注意两异面直线所成的角与两向量的夹角的联 00 0180 系与区别。系与区别。 【练练 61】61】 （济南统考题）已知平行六面体（济南统考题）已知平行六面体-中，底面中，底面是边长为是边长为 1 1 的的正方形，侧的的正方形，侧ABCD 1111 A BC DABCD 棱棱的长为的长为 2 2，且侧棱，且侧棱和和与与的夹角都等于的夹角都等于， （1 1）求对角线）求对角线的长（的长（2 2）求直线）求直线 1 AA 1 AAABAD120 1 AC 与与的夹角值。答案：（的夹角值。答案：（1 1）（2 2）（提示采用向量方法，以（提示采用向量方法，以、为为 1 BDAC2 3 arccos 3 1 AA AB AD 一组基底，求得一组基底，求得故两异面直线所成的角的余弦值为故两异面直线所成的角的余弦值为） 1 3 cos, 3 BD AC 3 3 【易错点易错点 62】62】对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。对于经度和纬度两个概念，经度是二面角，纬度为线面角，二者容易混淆。 D C B A A1 D1 B1 C1 N M P 例例 6262、如图，在北纬、如图，在北纬的纬线圈上有的纬线圈上有 B B 两点，它们分别在东经两点，它们分别在东经与东经与东经 0 45 0 70 的经度上，设地球的半径为的经度上，设地球的半径为 R R，求，求 B B 两点的球面距离。两点的球面距离。 0 160 【易错点分析易错点分析】求求 A A、B B 两点的距离，主要是求两点的距离，主要是求 B B 两点的球心角的大小，正确描述两点的球心角的大小，正确描述纬线纬线 角和经度角是关键。角和经度角是关键。 解析：设北纬解析：设北纬圈的圆心为圈的圆心为，地球中心为，地球中心为 O O，则，则 0 45 O 000 1 1607090 ,AO B 连结连结，则，则 0 1 45 ,OBOOBR 11 2 , 2 O BO AR ABR,AO AB 。故。故 A A、B B 两点间的球面距离为两点间的球面距离为。 0 ,60AOBOABRAOB 11 2 63 ABRR 1 3 R 【知识点归类点拨知识点归类点拨】数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（数学上，某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的平面与本初子午线（经线）和地经线）和地 0 0 轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图：轴确定的半平面所成的二面角的度数。某点的纬度是：经过这点的球半径与赤道面所成的角的度数。如下图： 图（图（1 1）：经度）：经度P P 点的经度，也是点的经度，也是的度数。的度数。ABAOB或 图（图（2 2）：纬度）：纬度P P 点的纬度，也是点的纬度，也是的度数。的度数。POAPA或 【练练 62】62】 （20052005 高考山东卷）设地球的半径为高考山东卷）设地球的半径为，若甲地位于北纬，若甲地位于北纬东经东经，乙地位于南纬，乙地位于南纬东经东经R4512075 ，则甲、乙两地的球面距离为（，则甲、乙两地的球面距离为（ ）120 （A A） （B B） （C C） （D D）3R 6 R 5 6 R 2 3 R 答案：答案：D D 如图所示东经如图所示东经与北纬与北纬线交于线交于 A A 点点12045 东经东经与南纬与南纬线交于线交于 C C 点点, ,设球心设球心12075 为为 B B 点从而点从而, ,45ABC 75DBC 即即以以 B B 点为圆心过点为圆心过 A A、C C、D D 的的120ABD 大圆上大圆上即为所求即为所求. . ACDACD 1202 2. 3603 RR 【易错点易错点 64】64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积 公式公式 容易忽视公式系数，导致出错。容易忽视公式系数，导致出错。 例例 6464、 （20032003 年天津理年天津理 1212）棱长为）棱长为 a a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A A、 B B、 C C、 D D、 3 3 a 3 4 a 3 6 a 3 12 a 【易错点分析易错点