高考数学考点48 排列与组合

（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.1排列（1）排列的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）排列数、排列数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假设有排好顺序的m个空位，从n个元素中任取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m个空位共有种填法.这样，我们就得到公式，其中，且.这个公式叫做排列数公式.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中，即有，就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.所以n个不同元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定1.于是排列数公式写成阶乘的形式为，其中，且.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.2组合（1）组合的定义一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.，其中，且.这个公式叫做组合数公式.因为，所以组合数公式还可以写成，其中，且.另外，我们规定.（3）组合数的性质性质1：.性质1表明从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合是一一对应关系.性质2：.性质2表明从个不同元素中任取m个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m个元素中不含某个元素a的组合，只需在除去元素a的其余n个元素中任取m个即可，有个组合；第2类，取出的m个元素中含有某个元素a的组合，只需在除去a的其余n个元素中任取个后再取出元素a即可，有个组合.考向一 排列数公式和组合数公式的应用这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1 求下列方程中的值.（1）.（2）.即，化简得,解得.,原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.1证明：.2（1）解不等式；（2）求值考向二 排列问题的求解解决排列问题的主要方法有： （1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置. （2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列. （3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. （4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有_种排法.（用数字作答）【答案】5763记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A1440种 B720种C960种 D480种4用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有A144个B120个C96个D72个考向三 组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A85B86C91D90【答案】B5自2020年起，山东夏季高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为 学￥%A6 B7C8 D962017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热.在此期间，俄罗斯某电视台记者，在莫斯科大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为ABCD考向四 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素; 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列; 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数. 典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_种(用数字作答).【答案】25207某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有A35种B24种C18种D9种8为发展国外孔子学院,教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文,若每个国家至少去一人,则选派方案的种数为A180B240C540D6301下列等式中，错误的是A BC D2若，则的值为A B70C120 D1403甲、乙两人要在一排8个空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为A10B16C20D244某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有A12种B24种C36种D72种5甲、乙、丙、丁、戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法种数为A150 B120C180 D2406 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A BC D7年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为A BC D8数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案种数为AB34C43D439用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数,则比2340小的四位数共有A20个 B32个C36个 D40个10元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为A48 B36 C24 D1211岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种.A24 B36C42 D6012节目单上有10个位置,现有A,B,C 3个节目,要求每个节目前后都有空位且A节目必须在B,C节目之间,则不同的节目排法有种.13在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为.(用数字作答)14给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有.15某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有种(用数字作答).162018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲、乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有_种17（1）解不等式: ；（2）有4名男生和3名女生，i)选出4人去参加座谈会，如果3人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ii)7人排成一排，甲、乙二人之间恰好有2个人，有多少种不同的排法？18有2名老师，3名男生，3名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法？（1）3名男生必须站在一起；（2）2名老师不能相邻；（3）若3名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站（最终结果用数字表示）194个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.（1）恰好有一个空盒子,有多少种放法?若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?1（2018新课标全国理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是ABCD2（2017新课标全国理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种3（2016四川理科）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A24 B48 C60 D724（2018新课标全国理科）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）5（2018江苏）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 6（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)7（2017浙江理科）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法（用数字作答）8（2017天津理科）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）1【解析】.故原式成立.2【解析】（1）原不等式可化为，即，又且，又，（2）由组合数的定义知，又，当时，原式；当时，原式；当时，原式3【答案】C4【答案】B【解析】由题意可得,比40000大的五位数的万位只能是4或5.当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,有两种情况,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个进行全排列,故有种情况;当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0、2或4中任选一个,有三种情况,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个进行全排列,故有种情况.综上,满足题意的数共有故选B5【答案】D【解析】某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.故选D6【答案】D【解析】从这7人中任意选取2人的选法总数为两人会说汉语的情况有所以从这7人中任意选取2人进行深度采访,则这2人都会说汉语的概率为.7【答案】C【解析】若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下3名成员中的2名抢走,有=12(种)；若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有=6(种). 学#根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).8【答案】C1【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D的左、右两边都是相等的.对于选项C,所以选项C是错误的.故答案为C2【答案】D【解析】，故选D3【答案】C【解析】一排共有8个座位,现有甲、乙两人就坐,故有6个空座.要求甲、乙两人每人的两旁均有空座,在6个空座的中间5个空中插入2个座位让甲、乙两人就坐，有=20(种)坐法.4【答案】C【解析】由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有=6(种),再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有=6(种)情况,所以共有66=36(种)不同的报名方法.5【答案】D6【答案】D【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为，选D7【答案】C【解析】根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选C8【答案】B【解析】将12名同学平均分成四组共有种方案，四组分别研究四个不同课题共有种方案，第一组选择一名组长有3种方案，第二组选择一名组长有3种方案，第三组选择一名组长有3种方案，第四组选择一名组长有3种方案，选取组长的方案共有34种，根据分步乘法计数原理,可知满足题目要求的种数为34=34,故选B9【答案】D【解析】首位为1：种；首位为2，第二位为0,1都满足题意，共种；首位为2，第二位为3，第三位为0,1都满足题意，共种.24+12+4=40.综上，共有40个满足题意的四位数，故选D. #网10【答案】C11【答案】D【解析】若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有种.综上，这3个同学的不同进站方式有种，选D12【答案】40【解析】除A,B,C 3个节目外,还有7个位置,共可形成6个空,从6个空中选3个位置安排3个节目，有种方法,又A在中间,所以B,C有种方法,所以总的排法有=40种.13【答案】72【解析】由于要求同一队的球迷不能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数.可分两步:第一步,同一队的3名球迷不同的排法有=6(种);第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的3名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间的两个空中,不同的排法有=12(种),由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为612=72.14【答案】9615【答案】24【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有种,丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有种,由分步乘法计数原理可知,不同的摆放方法有=24种.16【答案】24【解析】根据题意，第一类：大一的两名同学在乙组，乙组剩下的两个来自不同的年级，从三个年级中选两个为种，然后分别从选择的年级中再选择一个学生为种，故有种；第二类：大一的两名同学不在乙组，则从剩下的三个年级中选择一个年级的两名同学在乙组，为种，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为种，这时共有种.根据分类计数原理得，共有种不同的分组方式.17【解析】（1）原不等式即 ，ii)甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出2人排在甲、乙之间，与余下的3人全排列，则有960（种）排法. 学#18【解析】（1）把3名男生看成一个整体与其他人排列，有种不同站法，再来考虑3名男生间的顺序有种不同站法，故3名男生必须站在一起的排法有种;（2）6名学生先站成一排有种站法，再插入两名老师有种站法，故2名老师不相邻的站法有种;（3）先从8个位置中选出3个位置给3个女生有种，再在剩下的5个位置上排其余5人有种，故4名女生从左到右由高到矮的顺序的站法有种19【解析】（1）方法一：4个小球不同,4个盒子也不同,是排列问题,恰好有一个空盒子的放法可分两步完成.所以共有2=8(种)放法.1【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概