高考数学考点25 不等关系与一元二次不等式

1不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系1不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系（2）用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2两个实数大小的比较（1）作差法：设a，bR，则，abab0，b0，则ab，ab；ab，bc；(单向性)可加性：abacbc；(双向性)ab，cd；(单向性)可乘性：；(单向性) ab，c0acb0，cd0；(单向性)乘方法则：；(单向性)开方法则：ab0(nN，n2)(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.4必记结论（1）ab，ab0.（2）a0b0,0cd.（4）0axb或axbb0，m0，则；(bm0)；(bm0)二、一元二次不等式及其解法1一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）两根式：.2三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4一元二次不等式恒成立问题（1）恒成立的充要条件是：且（2）恒成立的充要条件是：且（3）恒成立的充要条件是：且（4）恒成立的充要条件是：且（5）恒成立的充要条件是：且或且（6）恒成立的充要条件是：且或且考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.（4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若，试比较，的大小.典例2 已知0ab1，则，的大小关系是A BC D【答案】A【解析】因为0ab1,所以=0.综上，得b0,求证:.考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. ￥网求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x，y满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】因为，,所以.典例4 若二次函数yf(x)的图象过原点，且，求f(2)的取值范围.【解析】方法一：二次函数yf(x)的图象过原点，可设.易知，.【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2已知正数满足，则的最小值为A1 B C D 考向三 一元二次不等式的解法1解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(0),一根(=0),无根(0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：. 学#典例5 解下列不等式：（1）.（2）.典例6 已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【解析】（1）当时，,可得，,的解集为.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.3不等式的解集为A BC D4已知是偶函数，是奇函数，且=（1）求和的解析式；（2）设(其中)，解不等式考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围. 学#典例7 已知函数.（1）当时,解关于a的不等式；（2）若关于x的不等式的解集是(-1,4)，求实数a,c的值.典例8 已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.5若不等式的解集是,则的值是ABC14D10考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或0，或0，或0)称为分式不等式解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解即;.对于形如a(或a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式解高次不等式常用的方法有两种： （1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集（2）穿针引线法：将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积； 求出各因式的实数根，并在数轴上标出； 自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集典例9 不等式的解集为_.【答案】【解析】不等式可转化为,且方程的根为，则由穿针引线法可得原不等式的解集为.典例10 解关于x的不等式:0(aR).【解析】原不等式等价于：(xa)(xa2)0，其对应方程的两根为x1a，x2a2.6不等式的解集为A BC D7求下列不等式的解集：（1）；（2）.考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. 网（2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值即若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或);若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷典例11 已知二次函数，且不等式的解集为，对任意的都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.， 设，则， 又，当且仅当即时取得最大值，即实数的取值范围为.典例12 已知函数.（1）若对于xR，f(x)0恒成立,求实数m的取值范围;（2）若对于x1,3，f(x)5-m恒成立,求实数m的取值范围.8若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A BC D9若函数的定义域为，则实数的取值范围为A BC D1设,则下列结论中正确的是ABCD2设,则的大小关系是A BC D3不等式的解集是A BC D4实数，满足且，则下列关系式成立的是A BC D5已知的大小关系为A BC D的大小关系不确定,与的取值有关6设集合,则ABCD7已知，则的取值范围是A BC D8若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是A B C D9已知下列四个条件:;,能推出成立的有A1个B2个C3个D4个10若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是A2，) B(，6C6,2 D(，62，)11已知不等式的解集是，则不等式的解集是A BC D12已知函数=的定义域是一切实数，则m的取值范围是A00的解集为R，则k的取值范围为_.20已知，试比较与的大小21已知,3x+y,求9x+y的取值范围.22解下列不等式：（1） ；（2）.23已知不等式的解集为.（1）求实数的值;（2）若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24已知不等式的解集是.（1）求，的值；（2）解不等式(为常数) .25（1）解关于的不等式a；（2）已知不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.26已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围；(2)当时,解关于的不等式；(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立，求实数的值.1（2017新课标全国理科）设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0,原不等式得证.方法二:ab0,0,0, 学.原不等式得证.2【答案】C3【答案】B【解析】由题意易得：，即，不等式的解集为.故选B.4【解析】（1）由题意得=，即=，联立得=，=（2）由题意得，即，当时，解得；当时，对应方程的两个根为=，=，故当时，易知，不等式的解为；5【答案】A【解析】因为不等式的解集是，所以一元二次方程的解是,所以,解得,则6【答案】B【解析】等价于，即解集为故选B.7【解析】（1）原不等式等价于，即，则，由穿针引线法可知原不等式的解集为.（2）即，利用穿针引线法可知不等式的解集为.8【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立,所以，解得，即实数的取值范围是，故选C9【答案】A【解析】对任意的，有恒成立，所以或，得，故选A考点冲关1【答案】D【解析】当时,因为,所以,排除A,B;当时,所以,排除C选D2【答案】B【解析】01,ac,选B #网5【答案】【解析】由题可得，.因为，所以，所以，所以，即.故选C.当时，要使不等式恒成立，需，解得.所以的取值范围为.9【答案】C【解析】中,因为,所以,因此能推出成立;中,因为,所以,所以,所以,因此正确;中,因为,所以,所以不正确;中,因为,所以,所以正确;故选C10【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集不是空集，所以，解得 或，所以实数的取值范围是.故选D.12【答案】C【解析】由题意可知：恒成立，当时，不等式不一定成立；当时，应有，且，解得.综上可得，m的取值范围是m1.选C.13【答案】【解析】由于为不相等的正数，则，所以.14【答案】【解析】由题意得,不等式可化为,所以不等式的解集为.15【答案】【解析】由题意可得,当时,;当时,.综上可知,.19【答案】1,9)【解析】关于x的不等式0的解集为R，而x2+x+1=+0，(k1)x2+(k1)x+20的解集为R.当k=1时，20恒成立，因此k=1满足条件.当k0时，可得，解得1k9.综上，可得k的范围为1,9).20【解析】=，.又，