高考数学考点32 直线、平面垂直的判定及其性质

（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 一、直线与平面垂直1定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直.记作：l.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语2直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直线面垂直图形语言符号语言la，lb，a，b，l作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明两直线平行；构造平行线.4直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角的范围是.5常用结论（熟记）（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直二、平面与平面垂直1定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与平面垂直，记作.图形表示如下：2平面与平面垂直的判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直面面垂直图形语言符号语言l，作用判断两平面垂直3平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直线线平行图形语言符号语言作用证明直线与平面垂直4二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.（3）二面角的范围：.5常用结论（熟记）（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面（3）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内三、垂直问题的转化关系考向一 线面垂直的判定与性质线面垂直问题的常见类型及解题策略：(1)与命题真假判断有关的问题解决此类问题的方法是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定(2)证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义； 学#判定定理；垂直于平面的传递性()；面面平行的性质()；面面垂直的性质(3)线面垂直的证明证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(4)线面垂直的探索性问题对命题条件的探索常采用以下三种方法：a先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；b先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；c把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.典例1 如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是A平面B平面C平面D平面【答案】D1如图,在棱长为的正方体中,点、分别是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，且满足，则线段长度的取值范围是A BC D典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点（）求证：平面；（）求证：直线平面；（）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使?请说明理由【解析】（）三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，平面，又平面，（）在内的平面区域（包括边界）存在点，使，此时在线段上，证明如下：如图，过作，交线段于点，由（）可知，平面，又平面，由，得平面，平面，2如图1所示，在中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将沿DE折起到的位置，使A1FCD，如图2所示（1）求证：；（2）线段上是否存在点Q，使平面？说明理由考向二 面面垂直的判定与性质判定面面垂直的常见策略：(1)利用定义(直二面角)(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直典例3 已知在梯形中，分别为底上的点，且，沿将平面折起至平面，如图.（1）求证：平面平面；（2）若，求多面体的体积 网典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.（1）证明:平面;（2）证明:平面平面.则四边形是平行四边形.所以/,因为,所以.又, 学所以直线平面因为/,所以直线平面.因为平面,所以平面平面3如图所示，M，N，P分别是正方体的棱AB，BC，DD1上的点.（1）若，求证:无论点P在DD1上如何移动，总有BPMN;（2）棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面平面?证明你的结论.考向三 线面角与二面角求直线与平面所成的角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择典例5 正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为A BC D【答案】B又，AH平面，为所求的线面角设棱长为2，在中由等面积法得，故选B.典例6 如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为45，求三棱锥的体积.【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）如图，设的中点为，连接，4如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，.（1）求证:;（2）求证:平面;（3）若二面角的大小为,求直线与平面所成的角.典例7 已知ABCD是正方形，E是AB的中点，将和分别沿DE、CE折起，使AE与BE重合，A、B两点重合后记为点P，那么二面角的大小为_【答案】设正方形ABCD的边长为2，在中，PE=1，EF=2，PFE=30.【名师点睛】（1）二面角的平面角的顶点是二面角棱上任意一点.为了解题方便，可以把其放在某一特殊位置，这要具体问题具体分析.（2）求二面角的关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内且不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角. 学！典例8 在中，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角,在平面内作，且（1）求证：平面；（2）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值【解析】（1）由得，所以为等腰直角三角形，由为的中点得，以的中线为折痕翻折后仍有.因为，所以，又平面，平面，所以平面 （2）因为二面角的大小为，所以平面平面，又平面平面,，在中，于是在中，在中，所以在中，因此二面角的余弦值为.5如图，在长方体中，=1，点E是线段AB的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正切值. 1下列命题中不正确的是A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，=l，那么l2设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中不正确的是ABCD3如图，在三棱锥中，底面，则直线与平面所成角的大小为A BC D4如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是ABC的A外心 B内心C垂心 D重心5如图,A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB平面ABC时,CD=AB2CD16如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为457九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为A BC D8如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将ABE,DCE翻折,使得点A,D重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为 （1） （2）ABCD9已知，是平面，m、n是直线，给出下列命题：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若=m，nm，且n，n，则n且n.其中命题正确的是_10如图,三棱锥,平面平面,若,则的形状为_.11在四面体中，平面，为棱上一点，且平面平面，则_.12如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90，F是AC的中点，E是PC上的点，且EFBC，则_.13如图所示，在四棱锥中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当DM_时，平面MBD平面PCD.14四棱锥中，且平面是棱的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥的体积.15如图，已知四边形是正方形，平面，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.16如图，在正方体中，E为棱的中点，F为棱BC的中点（1）求证：直线AE直线DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE平面DFG？并说明理由17如图，已知三棱锥PABC中，ACB=90，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且是正三角形，PAPC（1）求证：平面PAC平面ABC；（2）求二面角DAPC的正弦值；（3）若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积18如图,已知多面体的底面是边长为2的菱形,底面,且.（1）证明:平面平面;（2）若直线与平面所成的角为,求直线与平面所成角的正弦值.1（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD2（2018江苏）在平行六面体中，求证：（1）平面；（2）平面平面3（2018浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值4（2018新课标全国理科）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.5（2017新课标全国理科节选）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC.6（2016新课标全国理科节选）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H. 将DEF沿EF折到的位置，.（1）证明：平面ABCD.7（2017江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC； （2）ADAC8（2017山东理科）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（1）设是上的一点，且，求的大小；（2）当，时，求二面角的大小.1【答案】D2【解析】（1）由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC. ￥网所以.又平面平面，所以DE平面A1DC.因为A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为平面BCDE，DE平面BCDE，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.（2）线段上存在点Q，使平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接DP，QE，PQ，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.3【解析】（1）连接BD，则BDAC.，MNAC，BDMN，DD1平面ABCD，MN平面ABCD，DD1MN，MN平面BDD1 B1.无论P在DD1上如何移动，总有BP平面BDD1 B1，总有MNBP.（2）存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1平面A1ACC1.证明如下：由题意可得BDCC1，又BDAC，ACCC1=C，BD平面A1ACC1.连接，与的交点为E，连接PE，则PEBD，PE平面A1ACC1.又PE平面APC1，平面APC1平面A1ACC1.4【解析】（1）四边形为矩形, 网,在直角中,过作与的延长线垂直,是垂足,连接ND，在中,平面平面,平面平面,平面,是直线与平面所成的角,在中,. 则直线与平面所成的角为.5【解析】（1）因为平面，平面，1【答案】A【解析】对于选项A，l平面，l可能在平面内，l可能与平面平行，l可能与平面相交故本题选A.2【答案】D【解析】对于选项D，可能还有b，或者b在内，所以D不正确3【答案】B【解析】由题意可知，底面，所以为直线与平面所成的角，因为，所以为等腰直角三角形，所以，故选B.4【答案】C【解析】连接并延长交于D，连接， 平面，则，又平面，则，又，平面，则，同理，故垂足H是ABC的垂心,选C5【答案】B【解析】取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB 平面ABC=AB，所以DE平面ABC，可知DECE.由已知可得DE=,EC=1，在RtDEC中,CD=2.6【答案】D【解析】在A中,因为AD与PB在平面内的射影AB不垂直,所以不成立;在B中,因为平面PAB平面PAE,所以平面PAB平面PBC 也不成立,所以不正确;在C中,因为BC/AD,BC不在平面PAD内,AD在平面PAD,所以BC/平面PAD,所以直线BC平面PAE也不成立,所以C不成立.在D中，在直角三角形PAD中，PA=AD=2AB，所以直线PD与平面ABC所成的角为45，所以是正确的，故选D7【答案】A【解析】如图，取中点，连接，过点作平面，连接，则为直线与平面所成的角，易知，所以，则.8【答案】B【解析】如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,所以PFBC9【答案】【解析】是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能n，所以不正确；学中，由于nm，n，m，则n，同理n，所以正确故填.10【答案】直角三角形【解析】平面平面，平面平面平面，平面，为直角三角形，故答案为直角三角形.11【答案】【解析】过A作,因为平面平面，且平面平面,平面，,又,平面 ,.12【答案】113【答案】PC【解析】由相关定理可知，BDPC.当DMPC时，则有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.所以应填PC.14【解析】（1）如图，取中点,连接,是中点,且.又因为,.又,四边形是平行四边形,又,是等边三角形,平面,平面,平面,平面.15【解析】（1）如图，分别取的中点，的中点.连接，因为，分别为，的中点，所以，因为与平行且相等，所以平行且等于，故四边形是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，所以平面.因为，分别为、的中点，所以.所以平面.因为平面，所以平面平面.16【解析】（1）如图，连接，由正方体的性质可知，又，平面，又平面，.（2）所求G点即为A1点，证明如下：由（1）可知，取CD的中点H，连接AH，EH，如图，由，可证DF平面AHE，AE平面AHE，DFAE.又，AE平面，即AE平面DFG.17【解析】（1）D是AB的中点，是正三角形，AB=20，APPB又APPC，PBPC=P，AP平面PBC又BC平面PBC，. 学!【名师点睛】本题的题设条件有三个：是直角三角形，；是正三角形；D是AB的中点，PD=DB=10.解答本题（1），只需证线面垂直，进而由线面垂直证明面面垂直；对于（2），首先应找出二面角的平面角，然后求其正弦值；解答第（3）小题的关键是用等体积法求解18【解析】（1）如图，连接,交于点, 设中点为,连接.（2）直线与平面