高考数学考点26 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.一、二元一次不等式（组）与平面区域1二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线2对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：3确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线同一侧的所有点(x，y)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从的符号就可以判断 (或)所表示的区域（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是；位于直线同侧的充要条件是.二、简单的线性规划问题1简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解2简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案3线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小 常见问题有：物资调运问题；产品安排问题；下料问题.4非线性目标函数类型（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等（3）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的倍的最值考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域1确定平面区域的方法如下：第一步，“直线定界”，即画出边界，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.典例1 不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为_【答案】典例2 已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则 的值为 A BC1 D2【答案】C【解析】作出可行域，因为不等式组表示的平面区域为直角三角形，所以所以.故选C. 网1已知不等式组表示的平面区域为M，若直线与平面区域M有公共点，则k的取值范围是A BC D考向二 线性目标函数的最值问题1平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 2顶点代入法：依约束条件画出可行域;解方程组得出可行域各顶点的坐标;分别计算出各顶点处目标函数的值，经比较后得出z的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.典例3 已知点x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值与最小值之差为A5 B6C7 D8【答案】C2若满足条件,则的最大值是A BC D考向三 含参线性规划问题1若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.2若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状. 学典例4 若变量x,y满足约束条件,且u=2x+y+2的最小值为-4,则k的值为A7 B C D2【答案】B典例5 设变量x,y满足,z=a2x+y(0a)的最大值为5,则a=A1 B C D 【答案】A3已知实数，满足约束条件，若目标函数的最大值与最小值的差为，则实数的值为A BC D考向四 利用线性规划解决实际问题用线性规划求解实际问题的一般步骤为：（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案注意：（1）在实际应用问题中变量除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略.（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.典例6 下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），则混合物的成本最少为_元维生素（单位：千克）400600400维生素（单位：千克）800200400成本（元/千克）12108【答案】960典例7 某家具厂有方木料，五合板，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料、五合板；生产每个书橱需要方木料、五合板.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？【解析】设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则，即，.作出表示的可行域，如图中阴影部分所示.4某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共个，生产一个遥控小车模型需分钟，生产一个遥控飞机模型需分钟，生产一个遥控火车模型需分钟，已知总生产时间不超过分钟，若生产一个遥控小车模型可获利元，生产一个遥控飞机模型可获利元，生产一个遥控火车模型可获利元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是_元.考向五 非线性目标函数的最值问题1斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.2距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值.典例8 已知实数x、y满足不等式组,若x2+y2的最大值为m,最小值为n,则m-n=A B C8 D9【答案】B典例9 已知x,y满足,如果目标函数z=的取值范围为0,2),则实数m的取值范围为A0, B(-,C(-,) D(-,0【答案】C【解析】作出表示的可行域，如图中阴影部分所示. *网目标函数z=的几何意义为可行域内的点(x,y)与A(m,-1)连线的斜率.由得,即B(2,-1).由题意知m=2不符合题意,故点A与点B不重合,因而当连接AB时,斜率取到最小值0.由与2x-y-2=0得交点C(,-1),在点A由点C向左移动的过程中,可行域内的点与点A连线的斜率小于2，而目标函数的取值范围满足z0,2),则m0,b0)的最大值为10,则a2+b2+2a的最小值为A B C D 6设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是A BC D7若不等式组表示的区域为，不等式表示的区域为，向区域均匀随机撒颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为A BC D8若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是A BC D9在平面直角坐标系中，已知点，点为边界及内部的任意一点，则的最大值为_.10在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为_.11已知满足约束条件，若可行域内存在使不等式有解，则实数的取值范围为_12已知x,y满足约束条件(x-2)(x+2y-4)0,则x2+y2的最小值为_.13已知实数x,y满足,则S=的取值范围是_.14已知点，若平面区域D由所有满足的点组成，则D的面积为_.15设变量x,y满足约束条件,目标函数z=x+6y的最大值为m,则当2a+b=(a0,b0)时,+ 的最小值为_.16某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知编制一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原料编制个花篮个花盆.（1）列出满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?1（2018天津理科）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A6 B19 C21 D452（2017天津理科）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A B1C D33（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是A0，6 B0，4C6， D4，4（2017新课标全国理科）设，满足约束条件，则的最小值是A BC D5（2016浙江理科）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A2 B4 C3 D6（2016四川理科）设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7（2016江苏）已知实数满足 ，则的取值范围是 8（2016新课标全国理科）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.9（2018浙江）若满足约束条件则的最小值是_，最大值是_10（2018北京理科）若,y满足，则2y的最小值是_.11（2018新课标I理科）若，满足约束条件，则的最大值为_12（2018新课标II理科）若满足约束条件 则的最大值为_1【答案】A2【答案】A【解析】由题知不等式组表示的可行域如图所示，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为故选A【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.3【答案】C，直线在y轴上的截距最大，此时最大，由得，所以同理，在点时目标函数的值最小，由得，所以由题意得，解得故选 学*【名师点睛】本题考查线性规划的应用，解题的关键有两个：一是正确画出不等式组表示的可行域；二是判断出目标函数中的几何意义，即与直线截距的关系，然后根据数形结合求解4【答案】作直线，将直线向右上方平移过点时，直线在y轴上的截距最大，由得所以，此时（元）.故答案为5000.【名师点睛】本题考查线性规划的实际应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件；由约束条件画出可行域；分析目标函数z与直线截距之间的关系；使用平移直线法求出最优解；还原到现实问题中5【答案】21【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域如图所示，【名师点睛】本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法,属于基础题.2【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示,由z=x+2y,得y=x+,是直线y=x+在y轴上的截距,根据图形知,当直线y=x+过A点时,取得最小值. 学*由得x=2,y=1,即A(2,1),此时z=4,z4,故选D.3【答案】B【解析】由得,作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示,由目标函数z=x-y,变形得到y=x-z,由图可知y=x-z在B(,)处取得最小值,所以-=-1,则m=5.故选B.4【答案】A【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，分析其几何意义，表示的是两点之间的距离，应用点到直线的距离公式求得结果.要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型.根据不同的形式，应用相应的方法求解.解本题时，首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，结合题中的意思，能够得到表示区域内的点到点的距离，可以得到其最小距离为点A到直线的距离，应用点到直线的距离公式求得结果.5【答案】C6【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由a1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得A（3，1），此时满足loga31，解得a3，实数a的取值范围是3，+），故选C【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤：在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值解本题时，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=logax（a1）的图象特征，结合区域上的点即可解决问题.7【答案】A【易错点睛】本题考查的是一个与面积相关的几何概型，以线性规划为背景，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域，计算出可行域的面积；二、画目标函数所对应的区域，为一个圆，计算出面积，即，注意圆有一部分没在可行域内，得到公共部分的面积，由几何概型的面积公式可得，从而得解. &网8【答案】D【名师点睛】线性规划中已知最优解求参数的取值或范围时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值9【答案】3【解析】依题意，作出可行域，设，当直线过点时，有最大值3，故填3.10【答案】11【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，要使可行域内存在使不等式有解，只需目标函数的最大值为非负值即可，平移直线，由图可知，当直线经过点时，目标函数的有最大值，所以，即.综上，可行域内存在使不等式有解，实数的取值范围是，故答案为.【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 网13【答案】,4【解析】作出表示的平面区域，如图中阴影部分所示.易知目标函数S=+,它表示可行域内的点与Q(,-)连线的斜率的一半再加上，易得A(1,3)、B(3,1),所以直线QA的斜率kQA=7,直线QB的斜率kQB=,数形结合可知,+kQBS+kQA,所以S=的取值范围是,4.14【答案】3图中阴影部分所示：可得，则，又直线与直线间的距离，故D的面积为.15【答案】9【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.成立).16【答案】（1）见解析；（2）该厂编制200个花篮,100个花盆所获利润最大,最大利润为8万元.【解析】（1）由已知得x、y满足的关系式为，等价于,该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分内的整点. 学&1【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. *网2【答案】D【名师点睛】线性规划问题有三类：简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；线性规划的实际应用3【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围4【答案】A【名师点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大5【答案】C【解析】如图，为不等式组所表示的平面区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，所以故选C【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误6【答案】A【解析】画圆：(x1)2+(y1)2=2，如图所示，则(x1)2+(y1)22表示圆及其内部，设该区域为M.画出 表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A. 【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先要分清条件和结论，然后看由条件推结论，由结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系可得出结论 7【答案】 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或值域.8【答案】【解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，那么由题