高考数学考点05 函数的基本性质

考点05 函数的基本性质考纲原文（1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（2）会运用函数图象理解和研究函数的性质.知识整合一、函数的单调性1函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设，.若有或，则在闭区间上是增函数；若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.2单调区间的定义若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)3函数单调性的常用结论（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减4函数的最值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得（3）对于任意的，都有；（4）存在，使得结论为最大值为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.二、函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数图象关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）2函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括，则（4）若函数是偶函数，则（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：函数为偶函数，函数为奇函数函数（且）为奇函数函数（且）为奇函数函数（且）为奇函数三、函数的周期性1周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3函数周期性的常用结论设函数，.若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.重点考向考向一 判断函数的单调性1判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减（4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间典例引领典例1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是A若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为增函数B若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为减函数C若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为增函数D若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为减函数【答案】C【解析】f(x)为增函数，g(x)为减函数，f(x)g(x)的增减性不确定例如f(x)x2为R上的增函数，当g(x)x时，则f(x)g(x)x2为增函数；当g(x)3x，则f(x)g(x)2x2在R上为减函数，不能确定故选C.典例2 已知函数，且.（1）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由已知得，.任取，且，则，又，即，即，函数在上为单调增函数.（2），且由（1）知函数在上为单调增函数，即，化简得， 的取值范围为（不写集合形式不扣分）.【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由，代入解析式即可得，进而得，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数在上为单调增函数，所以得，求解不等式即可.用定义法证明函数的单调性的步骤：取值；作差；变形；确定符号；下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.变式拓展1下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是A B C D考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值（4）利用函数的单调性解不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内典例引领典例3 定义在上的函数满足：对任意的，（），有，则A BC D【答案】D【解析】因为对任意的，（），有，所以函数在上是减函数，因为，所以，故选D典例4 已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有（1）求的值；（2）解不等式.【解析】（1）令，则，.（2）解法一：由题意知为上的减函数，且，即.，且，可化为，即，则，解得.不等式的解集为解法二：由，即，则，解得.不等式的解集为变式拓展2设函数，则不等式成立的的取值范围是A B C D考向三 函数最值的求解1利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.2求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例引领典例5 已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】要使在区间上，不等式恒成立，只需恒成立，设，只需小于在区间上的最小值，因为，所以当时，所以，所以实数的取值范围是.典例6 已知函数，若xt，t2，求函数f(x)的最值【解析】易知函数的图象的对称轴为直线x1，（1）当1t2，即时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.（2）当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.（3）当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.（4）当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为(t)，则有 ，.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.变式拓展3若函数在上的最大值为，最小值为，则A B C D考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路：（1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例引领典例7 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A是偶函数 B是奇函数 C是奇函数 D是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C典例8 下列判断正确的是A函数是奇函数B函数是非奇非偶函数C函数是偶函数D函数既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】对于A，的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数.对于B，不满足奇偶性的定义，是非奇非偶函数.对于C，函数的定义域为，关于原点对称.当时，；当时，.综上可知，函数是奇函数.对于D，的图象为平行于轴的直线，不关于原点对称，不是奇函数.【名师点睛】对于C，判断分段函数的奇偶性时，应分段说明与的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性.若D项中的函数是，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数又是偶函数.变式拓展4若函数为偶函数，则的值为_考向五 函数奇偶性的应用1与函数奇偶性有关的问题及解决方法：（1）已知函数的奇偶性，求函数的值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解（2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用为奇函数，为偶函数，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数，可考虑列式求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性.2对称性的三个常用结论：（1）若函数是偶函数，即，则函数的图象关于直线对称；（2）若对于上的任意x都有或，则的图象关于直线对称；（3）若函数是奇函数，即，则函数关于点中心对称典例引领典例9 已知定义在上的奇函数满足，若，则实数a的取值范围是_【答案】(3,1)【解析】由题意可得在上为增函数，又为定义在上的奇函数，所以在上为增函数由得，即，解得.故实数a的取值范围是(3,1).典例10 已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集用区间表示为_【答案】【解析】是定义在上的奇函数，.又当时，.又为奇函数，.当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得.综上，不等式的解集用区间表示为变式拓展5已知偶函数在上单调递增，若,则满足的的取值范围是A BC D考向六 函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例引领典例11 定义在实数集上的函数满足，且，现有以下三种叙述：是函数的一个周期；的图象关于直线对称；是偶函数其中正确的序号是 【答案】【解析】由得，所以，所以是的一个周期，也是的一个周期，正确；由得的图象关于直线对称，正确；由得，所以，所以函数是偶函数，正确所以正确的序号是变式拓展6已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，若，则A6 B4 C D考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例引领典例12 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则A BC D【答案】D【解析】因为满足，所以，所以函数是以8为周期的周期函数，则.由是定义在上的奇函数，且满足，得.因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，所以在区间上是增函数，所以，即.变式拓展7设函数是以为周期的奇函数，已知时，则在上是A增函数，且 B减函数，且C增函数，且 D减函数，且考点冲关1函数的减区间是A B C D2下列函数是偶函数的是A B C D3下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是A B C D4已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数解析式可能是A B C D5函数，且的图象可能为A B C D 6已知函数满足，且在上单调递增，则A BC D7已知函数为偶函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则A B C D8已知函数，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件9已知定义在上的函数满足：对任意实数都有，且时，则的值为A B C D10设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是A B C D11已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，则=_12已知函数为偶函数，则的解集为_13已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.14若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”（1）判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数f(x)=(x1)2在定义域m，n(m1)上为“依赖函数”，求实数m、n的乘积mn的取值范围；（3）已知函数f(x)=(xa)2(a)在定义域，4上为“依赖函数”若存在实数x，4，使得对任意的tR，有不等式f(x)t2+(st)x+4都成立，求实数s的最大值直通高考1（2018年高考浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是A BC D2（2018年高考新课标I卷理科）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A B C D3（2018年高考新课标II卷理科）已知是定义域为的奇函数，满足若，则A B0 C2 D504（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关5（2017年高考新课标卷理科）函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是A BC D6（2017年高考北京卷理科）已知函数，则A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数7（2017年高考天津卷理科）已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为A BC D8（2016年高考山东卷理科）已知函数f(x)的定义域为.当x0时，；当时，；当时，.则f(6)= A2B1 C0D29（2015年高考湖北卷理科）已知符号函数 是上的增函数，则 A B C D10（2018年高考江苏卷）函数满足，且在区间上， 则的值为_11（2017年高考浙江卷）已知aR，函数在区间1，4上的最大值是5，则的取值范围是_ 参考答案变式拓展1【答案】D【解析】在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，在其定义域上是奇函数,在和上是减函数，在其定义域上是偶函数,在其定义域上既是奇函数又是减函数.因此选D.【名师点睛】逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定即可.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系2【答案】B【解析】易得f（x）为偶函数，且x0时，单调递减；由f（2x3）f（1）得：f（|2x3|）f（1），|2x3|1，解得x1，或x2.x的取值范围是（，1）（2，+）故选B【名师点睛】处理抽象不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则求解本题时，首先判断出f（x）为偶函数，并且f（x）在0，+）上单调递减，从而由f（2x3）f（1）得到f（|2x3|）f（1），进而得到|2x3|1，解该绝对值不等式即可求出x的取值范围【名师点睛】本题主要考查了函数值的求解，解答中利用换元法，得到新函数，利用新函数的单调性，求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.4【答案】【解析】因为函数为偶函数，所以由可得，则，故答案为.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由恒成立求解，偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.5【答案】B 【解析】由题设知偶函数在上单调递增，若,则，即 解得或.故选B【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题由题意结合函数的性质脱去符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果6【答案】A【解析】因为是周期为2的奇函数，所以，解得，故选A【名师点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题.在本题中，应用函数的周期性和奇偶性解题是关键.求解时，利用已知条件，将函数的自变量变到内，再求出函数值，由求出的值.【名师点睛】根据函数的奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.考点冲关1【答案】B【解析】令t=x2+2x+30，求得1x3，故函数的定义域为（1，3），且y=ln t，故本题即求函数t在定义域内的减区间再利用二次函数的性质求得t=（x1）2+4在定义域内的减区间为1，3），故选B2【答案】A【解析】对于选项A,令，则，所以该函数是偶函数.故选A.【名师点睛】（1）本题主要考查函数奇偶性的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力. （2）判断函数的奇偶性，一般利用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则该函数是偶函数，如果有=，则该函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.3【答案】A【解析】函数为偶函数,且在上为增函数，对于选项A,函数为偶函数，且在上为増函数，符合题意；对于选项B,函数是偶函数，且在上为减函数，不符合题意；对于选项C,函数为奇函数，不符合题意；对于选项D,函数为非奇非偶函数，不符合题意.只有选项A符合题意，故选A 【名师点睛】逐一判断选项中函数奇偶性、单调性，从而可得结果.函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现.4【答案】D【解析】由函数图象可知，函数图象关于轴对称，函数是偶函数.对于A，函数不是偶函数；对于B，函数不是偶函数；对于C，函数不是偶函数；对于D，=，是偶函数，故选D【名师点睛】由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可得结果.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6【答案】B【解析】f（2+x）=f（2x），f（x）的图象关于直线x=2对称，f（1）=f（5），又f（x）在上单调递增，f（3）f（5）=f（1）f（6）故选B【名师点睛】本题考查函数单调性的应用，考查对称性的应用，属于中档题求解时，首先由f（2+x）=f（2x）得到f（x）的图象关于直线x=2对称，再利用f（x）在上单调递增，可判断f（1），f（3），f（6）的大小关系7【答案】B【解析】f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且g（2）=3, f（3）=2,f（x）为偶函数,f（3）=f（3）=2故答案为B.【名师点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性、函数图象关于直线y=x的对称性等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）注意这个结论：点A（x,y）关于直线y=x对称的点B图像坐标为（y,x）,知道这个结论再解答本题就简单了.8【答案】C【解析】由题得函数的定义域为R.则,所以函数是奇函数.当x0时，是增函数，是增函数，所以函数在上是增函数.又因为函数是奇函数，所以函数是R上的增函数.所以.所以“”是“”的充要条件.故答案为C.【名师点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的充要条件的判定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.（2）解答本题的关键是判断函数的单调性，解答时利用了函数单调性的性质，增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.【名师点睛】这个题目考查的是函数的基本性质，周期性和奇偶性的应用，对于抽象函数求解析式，一般先要研究函数的这两个性质，通过周期将要求的函数的自变量化到题中所给的区间，再应用奇偶性求解即可.10【答案】B【解析】易知函数在上单调递减，又函数是定义在上的偶函数，所以函数在上单调递增，则由，得，即，即，即在上恒成立，则，解得，即的最大值为.故选B.【名师点睛】求解本题时，先根据基本函数的单调性判定函数在上单调递减，再利用函数的奇偶性判定函数在上单调递增，将不等式恒成立问题转化为恒成立，然后平方转化为一次不等式恒成立问题.熟记下列结论：（1）利用函数的奇偶性判定函数的单调性时，要熟记“奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反”；（2）处理一次项系数含字母的一次不等式恒成立问题时，为了避免讨论一次项系数的符号，往往判定区间上的两端点对应的函数值恒正或恒负.11【答案】【解析】因为函数f(x)为R上的奇函数，所以，即，故当时，所以.【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意首先求得m的值，然后结合奇函数的性质整理计算即可求得最终结果.【名师点睛】本题考查偶函数的定义，以及利用偶函数的单调性解不等式，属基础题.求解时，由函数为偶函数，可得，则，则解之即可.13【答案】（1）减函数，证明见解析；（2）；（3）m|或或.【解析】（1）在上是减函数，证明如下：任取且，则，为奇函数，由题知，即，在上单调递减.（2）在上单调递减，故解得不等式的解集为.【思路点拨】（1）根据单调性定义，设，作差，由奇函数的定义化为，再利用已知条件得，从而得函数为减函数；（2）由减函数的定义得，但还要注意定义域，因此有；（3）题设不等式恒成立，即恒成立，对任意的恒成立，作为的一次不等式，只要和时不等式成立即可14【答案】（1）g(x)=2x是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）.【解析】（1）对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2= x1，则g(x1)g(x2)=1，且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，故g(x)=2x是“依赖函数”.（3）因为，故在上单调递增，从而，即，进而，解得或(舍去)， 从而，存在，使得对任意的tR，有不等式恒成立，即恒成立，由，得，由，可得，又在上单调递增，故当时，从而，解得，故实数的最大值为【思路点拨】（1）取 ，可验证函数为依赖函数； （2）化简条件得，从而，利用单调性求值域即可；（3）由题意知存在，使得对任意的tR，有不等式恒成立，即恒成立，分离参数可得，转化为求最值问题处理即可顺利解决.直通高考1【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，故选D！网【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复2【答案】D【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程