高考数学考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点直线a，则A和a确定一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面有且只有一个平面，使，推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面有且只有一个平面，使，公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且P=l，Pl，且l是唯一的公理4l1l2l平行于同一条直线的两条直线互相平行l1l，l2ll1l22等角定理（1）自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言： 如图（1）、（2）所示，在AOB与AOB中，则或.图（1） 图（2）二、空间两直线的位置关系1空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类： （2）从是否共面的角度分类： 【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线aa,bb,相交直线a，b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.（3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作ab. 三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系1直线与平面、平面与平面位置关系的分类（1）直线和平面位置关系的分类按公共点个数分类：按是否平行分类：按直线是否在平面内分类：（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：（1）两个平面平行没有公共点；（2）两个平面相交有一条公共直线. 2直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示图形语言符号语言公共点直线与平面相交1个直线与平面平行0个直线在平面内无数个平面与平面平行0个平面与平面相交无数个3常用结论（1）唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线考向一 平面的基本性质及应用（1）证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上； 学#选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.（2）证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.（3）证明点或线共面问题，主要有两种方法：首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1 （1）在下列命题中，不是公理的是A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（2）给出以下四个命题： 不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的个数是A0 B1C2 D3【答案】（1）A （2）B 1如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略：(1)异面直线的判定常用到的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直(3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查. 学典例2 如图，在正方体中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为ABCD【答案】A故选A2若直线l与平面相交，则A平面内存在直线与l异面B平面内存在唯一一条直线与l平行C平面内存在唯一一条直线与l垂直D平面内的直线与l都相交典例3 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:（1）AM和CN是否是异面直线?说明理由.（2）D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.3如图，平面,且，求证:b,c是异面直线.考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略：(1)求异面直线所成的角常用平移法平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移(2)求异面直线所成角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.(3)判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面典例4 如图，四棱锥中，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为ABC D【答案】A则，所以，故选A. #网【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线和所成的角转化为平面角，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.4如图,已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,设M,N分别是A1B1,BC的中点.（1）求MN与A1C1所成角的正切值;（2）求B1D与A1C1所成角的大小.1在正方体中，与成异面直线的棱共有A条 B条C条 D条2下面四个条件中，能确定一个平面的条件是A空间中任意三点 B空间中两条直线C一条直线和一个点 D两条平行直线3已知直线平面,直线平面,则AB异面C相交D无公共点4若直线a,给出下列结论： 内的所有直线与a异面；内的直线与a都相交；内存在唯一的直线与a平行；内不存在与a平行的直线其中成立的个数是A0 B1 C2 D35如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A在直线上B在直线上C在直线上D都不对6在空间中,下列命题正确的是A若平面内有无数条直线与直线l平行,则B若平面内有无数条直线与平面平行,则C若平面内有无数条直线与直线l垂直,则D若平面内有无数条直线与平面垂直,则7给出下列四种说法:两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； 一条直线和一个点确定一个平面；若四点不共面, 则每三点一定不共线； 三条平行线确定三个平面正确说法的个数为A1B2C3D48已知为异面直线,平面平面，直线满足,则A且B且C与相交,且交线垂直于D与相交,且交线平行于9若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是A BC与既不垂直也不平行 D与的位置关系不确定 10在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为ABCD11已知在正方体中（如图），平面，且与不平行，则下列一定不可能的是Al与AD平行Bl与AB异面Cl与CD所成的角为30Dl与BD垂直12在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为ABCD13我国古代九章算术里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A BC D14如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：与平行；与为异面直线；与成60角；与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是A1 B2C3 D415若直线和平面平行,且直线,则两直线和的位置关系为_ .16如图所示，是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：A、M、O三点共线；A、M、O、A1不共面；A、M、C、O共面；B、B1、O、M共面其中正确结论的序号为_17已知m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面,给出下列命题:若,=m,nm,则n或n;若=m,n/,n/,则n/m ;若m不垂直于平面,则m不可能垂直于内的无数条直线;若m,n, /,则m/n .其中正确的是_.(填上所有正确的序号) 18在四面体中,分别是的中点,若所成的角为,且,则的长度为_.19如图，已知四棱锥中，底面为菱形，分别是的中点，在上，且.证明:点四点共面.20已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点.(1)求证:BC与AD是异面直线;(2)求证:EG与FH相交.21如图,等腰直角三角形ABC中,A90,BC,DAAC,DAAB,若DA1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.1（2018新课标全国理科）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD2（2017新课标全国理科）已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD3（2015安徽理科）已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是A若，垂直于同一平面，则与平行B若，平行于同一平面，则与平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若，不平行，则与不可能垂直于同一平面4（2016新课标全国理科）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为A B C D5(2017新课标全国理科) a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）6（2015浙江理科）如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是 7（2016上海理科）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小.1【解析】（1）如图,连接EF,CD1,BA1.因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EFBA1.又BA1CD1,所以EFCD1.所以E,C,D1,F四点共面.（2）因为EFCD1,EFCD1,所以CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.2【答案】A【解析】当直线l与平面相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误；平面内的直线与l可能异面，故D错误，故选A 学3【解析】反证法：若b与c不是异面直线,则或b与c相交.若,这与矛盾.若b,c相交于点B,则.,，,即,这与矛盾.b,c是异面直线.4【解析】（1）如图,取B1C1的中点Q,连接MQ,M是A1B1的中点,MQ/A1C1,MQ与MN所成的角为MN与A1C1所成的角,即NMQ.连接QN,则QN平面A1B1C1D1,而MQ平面A1B1C1D1,QNMQ.在RtMQN中,QN=a,MQ=a,tanNMQ=.即MN与A1C1所成角的正切值为.（2）如图,连接BD,B1D1.DD1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,DD1A1C1.又A1C1B1D1,DD1B1D1=D1,A1C1平面BDD1B1.B1D平面BDD1B1,A1C1B1D,B1D与A1C1所成角的大小为90.1【答案】A【解析】如图，与成异面直线的棱有、，共4条.故选A.2【答案】D3【答案】D【解析】若直线平面,直线平面,则或异面,即无公共点.故选D4【答案】A【解析】直线a,a或a=A.如图,显然都有反例,所以应选A.【名师点睛】判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用的空间模型），另外，考虑问题要全面，即注意发散思维.5【答案】A【解析】根据条件可知,和的交点都在平面ABD与平面BCD中,故和相交于两平面的交线BD上.故选A.6【答案】D【解析】由题可得,要使直线与平面平行,则直线应平行于平面内的一条直线,且该直线在平面外,由此可得,选项A错误;要使平面与平面平行,则只需平面内两条相交直线与平面平行即可,选项B中,没说明直线是否相交,所以结论不一定成立,所以选项B错误;要使直线垂直平面,则直线垂直于平面内的任意一条直线,而无数条直线不能代表任意条,所以选项C错误,所以正确的选项是D7【答案】A8【答案】D【解析】若，则由平面，知平面，而平面，所以，与为异面直线矛盾，所以平面与平面相交.由平面，且，可知,，同理可知，所以与两平面的交线平行.故选D9【答案】D【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为.若取为，为，则；若取为，为，则；若取为，为，则与异面，因此的位置关系不确定，故选D. 10【答案】D【解析】取DD1的中点G,连接BG,FG,易知四边形BED1G是平行四边形,则BG/ED1,则FBG是异面直线与所成的角或其补角,令正方体的棱长为2,则BF=FG=BG=3,cosFBG=.11【答案】A【解析】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行12【答案】A13【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为尺，尺，且侧面为等腰梯形，则尺，间的距离为尺，故尺，由勾股定理得尺，所以,故选B.14【答案】C【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）DEF，如图：15【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线和没有公共点,故直线和的位置关系为平行或异面. 学16【答案】【解析】连接A1C1、AC，则A1C1AC，A1、C1、C、A四点共面，A1C平面ACC1A1.MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，A、M、O三点共线，故正确由易知错误，正确易知OM与BB1为异面直线，故错误17【答案】【解析】若,则与的位置关系不确定,即错误;由线面平行的性质和平行公理可得正确;若不垂直于平面,则可垂直于内的无数条直线,即错误;若,则,又,所以,即正确.故填.18【答案】19【解析】在平面内,连接并延长，交的延长线于点,则有,在平面内,连接并延长，交于点取中点,连接,AF，20【解析】(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为,则.所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾. 网所以BC与AD是异面直线.(2),因此;同理,则EFGH为平行四边形.又EG,FH是平行四边形的对角线,所以EG与HF相交.21【解析】取AC的中点F,连接BF、EF,1【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则，连接，易求得，则是异面直线与所成的角，由余弦定理可得.故选C.2【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的