能级的简并度PPT课件

.,1,讨论：,1、能级的简并度,其中,对能级,及波函数,n为主量子数,由于,所以,相应的有,.,2,而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1个取值，即,即对于给定的n（能级一定）,而对于给定的l,(等差数列),.,3,能级En的简并度为,比起一般中心力场的简并度2l+1要高。,一般中心力场粒子的能级,依赖于量子数,但库仑场中,En粒只依赖于n,但是,n=nr+l+1,故能级En除了对m简并，对l也是简并的。,所以库仑场具有更高的对称性。,对称元素越多,对称性越高，简并度越大,.,4,2、径向位置几率分布,角向部分积分掉,其中nr=0称为圆轨道-无节点。,.,5,确定。,见下图。,.,6,基态：n=1,l=0,玻尔半径,电子出现在r=r1的单位厚度球壳层内的概率最大,.,7,3、几率密度分布随角度的变化,显然，几率沿z轴旋转对称。,因为Lz是守恒量，故可以用通过z轴的任意平面的曲线描述几率分布随角的变化。如,.,8,s电子,p电子,.,9,4、电流分布与磁矩,由几率流密度分布表达式,（表示单位时间通过某一截面的粒子数）,可得电子的电流密度（电子荷电量-e),.,10,利用球坐标中,容易求出的各分量,对,.,11,但,且,是绕z轴的环电流密度。,见右图。,通过d的电流元为,.,12,对磁矩的贡献为,其中,是环面积。,因此总磁矩为,其中,是细环的体积元。,（光速c是由高斯单位制所带来的常数）,.,13,利用归一化条件后有,其中,为Bohr磁子。,可见，磁矩与m有关，m称之为磁量子数。,对s态，l=0,m=0,磁矩为0，电流为0。,故,注意：,Mz是很重要的，因为MzB是相互作用能以后经常碰到。,.,14,另外，由上式可知,.,15,5、类氢离子,共同特点：,原子实,一个核外电子,+,类氢离子，如,上述结果也都适用。,只需,核电荷+e+Ze,或e2+Ze2,约化质量相应的约化质量,比如对能级公式,作业：p189,1,3,4,.,16,4三维各向同性谐振子,质量为的粒子在势场V(r)中运动,是刻画势阱强度的参量。,径向方程为,仍然采用自然单位来化简方程。,.,17,化为,则径向方程,上式出现两个奇点：,r=0,为正则奇点；,r=,为非正则奇点,必须把奇异性分离出来。,.,18,r=0时径向方程,可写为,不满足波函数在r=0处的有界条件,Rl(r)有两个解：,但因,解,因此，只能取,.,19,但不满足波函数在无穷远处的边界条件（几率为0），故弃之,因此，只能取有界解,这样方程的解可表为,r时，方程近似化为,其渐近行为是,.,20,代入方程,将式,可知u(r)满足,令,通过复合函数求导，上式化为,这是合流超几何方程，相应参数为,.,21,方程有两个线性独立的解,故有界解为,不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即=0或负整数。,.,22,即,加上能量的自然单位，得,令,则,加上长度单位,可得相应的波函数为三项之积,.,23,归一化后得,此时,nr表示径向波函数的节点数。,.,24,Nr=0，1，2的径向波函数分别为,.,25,知道了径向波函数，利用已知的球谐函数形式，很容易写出体系的波函数为,.,26,讨论：,1、能级简并度,能级也是等间距的。,这表现在,但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子能级是简并的。,同一个N，可有不同的nr，l,这是V(r)r2的结果。,.,27,对于给定的EN或N,nr=0,1,2,(N-1)/2或N/2,.,28,可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度.,比如,这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性比一般中心力场的几何对称性要高。,.,29,2、在直角坐标系中求解,三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独立的一维线性谐振子，其振动频率相同。,体系的哈密顿算符为,Schrdinger方程为,.,30,用分离变量法，哈密顿算符可写为,其中,令,相应的本征能量为,其中,.,31,则,其中,.,32,能级简并度：,则(nx,ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数),由上式可以看出，满足,对于给定N，,利用,有,.,33,即当N给定时,nx可取0,1,2,N等N+1个值。,所以可能取值的数目，即量子态数目（简并度）为,nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即,个取法。,.,34,对体系的两个彼此不对易的守恒量F和G，若是F和H的共同本征函数，则G也是H的本征函数,即体系的能级是简并的，本征值均为E.,根据能级简并与守恒量关系的定理(p138)：,因此在能级有简并的情况下，定态波函数的选取是不唯一的。,选,选守恒量完全集F,H,选G,选守恒量完全集H,这相当于选不同的守恒量完全集。,.,35,在球坐标系中，力学量完全集为,在直角坐标系中，力学量完