集合与函数北京交大PPT课件

1,集合(set),小结思考题作业,函数(function),1.1集合与函数,第1章函数,2,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,若a是A的元素,则说a属于A,空集.,不含任何元素的集合称为,1.集合(set)的概念,3,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,可以用列举法将其表示成,列举法有很大的局限性.,组成的集合A,外加花括号.,4,如:,由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.,的办法来表示集合,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,5,2.区间(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数.,称为,称为,这两个实数叫做区间的端点.,开区间,闭区间,6,称为,有限区间,无限区间,半开半闭区间.,全体实数的集合R也可记作,是无限区间.,7,3.邻域(neighborhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,8,有时简记为,去心(空心),即,点a的,称为a的,称为a的,9,4.逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“”,表示“任取”,或“任意给定”.,“”,表示,或“能够找到”.,如实数的阿基米德公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的字头E的倒写,练习,“存在”,“至少存在一个”,10,二、函数(function),定义,设有两个变量x和y,自变量,因变量,定义域,记作,变量y的取值的集合称为函数的值域(range),即,x的变化域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则f,变量y总有唯一的数值与之对应,则称y为x,的函数(function),1.函数概念,11,(1),函数的记号:,除常用的f外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别.,12,(2),对应的函数值y总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值分支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,(3),构成函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,定义域Df与对应法则f.,两个要素:,13,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,(4),而与用什么字母无关,无关特性.,14,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,由问题的实际意义所确定.,(2),实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中(函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.,表示的).,15,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,16,常用的函数关系表示法是多种多样的.,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值,但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示,函数.,17,例,某商店对一种商品的售价规定如下:购买量,有些函数,分段函数.,称为,函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数,不超过5千克时,每千克0.8元;购买量大于5千克而不,超过10千克时,若购买x千克的费用记为f(x),则,购买量大于10千克时,超过10千克部分每千克0.4,元,元;,在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.,其中超过5千克部分优惠价每千克0.6,18,用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数!,3.,练习,并画出,其图形.,19,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,20,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,21,取整函数,如,例,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,R=Z,22,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,由于有理数和无理数在实数集中稠密,因此只能画出它的象征性的图像.,有理数点,无理数点,23,例取最值函数,24,有界性(bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说f(x)在区间I上有上界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),3.函数的几种特性,25,若存在常数,使得对所有,则称f(x)在I上有界.,在I上无界;,都有,若这样的M不存在,则称f(x),即为对于任何,总存在,使,则称f(x),在I上无界.,有界,无界,26,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间,在区间,一定要把区间明确出来!,显然,(boundedfunction),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,若f(x)在I上有界,不是唯一的.,则它在I上的上界和下界均,27,练习,A.有上界无下界,B.有下界无上界,C.有界,D.有界且,解,C,解题提示,将函数取绝对值,然后用不等式,放缩法.,28,单调性,单调增加;,如果对,恒有,设函数f(x)的定义域为D,区间,则称函数f(x)在区间I上是,29,应指明单调区间,否则会产生错误.,单调减少.,如果对,恒有,monotonedecreasing,设函数f(x)的定义域为D,区间,则称函数f(x)在区间I上是,30,奇偶性,偶函数的图形,称f(x)为,偶函数);,设D关于原点对称,31,奇函数的图形,称f(x)为,奇函数.,设D关于原点对称,32,奇偶函数的运算性质:,(1)两个奇(偶)函数的和仍为奇(偶)函数;,(2)两个奇(偶)函数的乘积为偶函数;,(3)偶函数与奇函数的乘积为奇函数.,练习,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,奇函数的,33,周期性(periodicity),的周期.,周期函数(periodfunction).,如果存在一个,正数T,且总有,T称为f(x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为T的周期函数,设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是,34,4.生成新函数的几种运算,(1)设函数f(x),g(x)的定义域分别为D1,D2,则可定义这两个函数的下列运算,和(差),积,商,且,线性组合,为实数,而生成新的函数:,35,设函数y=f(x)的值域为Y,则称变量x为变量y的函数,记为,(2),定义,反函数(inversefunction),如果对于Y,中任一y值,从关系式y=f(x)中可确定唯一的一个,称为函数y=f(x)的反函数,习惯上y=f(x)的,反函数记为,x值,36,求反函数的步骤,求函数的反函数y=f-1(x).,(1)把x从方程y=f(x)中解出;,(2)把刚才所得的表达式中的x与y对换,即得所,注意,(1)y=f(x)的图形与其反函数x=f-1(y)的图形,y=f(x)的图形与其反函数y=f-1(x)的图形,直线,对称.,(2)只有一一对应的函数才有反函数.,重合;,关于,y,x,37,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,38,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,39,定义,设函数y=f(u)的定义域为Df,而函数,若,则称函数,u=g(x)的值域为Rg,y=fg(x)为x的复合函数.,x为自变量,u为中间变量,y为因变量.,也可记作:,(3),复合函数,40,(1)并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合,因为,不能构成复合函数.,的定义域Df是,的值域Wg是,构成.,41,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,u,v都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,42,例,解,43,综上所述,先外后内法,44,法2（先内后外法）,45,1)幂函数(powerfunction),定义域与的取值有关.,5.初等函数(elementaryfunction),(basicelementaryfunction),(1)基本初等函数,46,2)指数函数,定义域为,值域为,47,3)对数函数,定义域为,值域为,48,4)三角函数,正弦函数,定义域为,值域为,49,余弦函数,定义域为,值域为,50,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,51,51,三角函数常用公式,52,5)反三角函数,定义域,值域,主值,反正弦函数,但是,可以选取这些函数的,单值支.,53,定义域,值域,主值,反余弦函数,54,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,55,(2)初等函数(elementaryfunction),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数,称为,56