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第三节函数的极限,一函数极限的概念,（一）自变量x趋于无穷大时的函数极限,定义1设f(x)在|x|充分大时有定义.如果,对于X0,当|x|X时,恒有,(X=X(),X不唯一.),几何意义:对于,总存在X0,当|x|X时,y=f(x)的图象都落在直线之间.,例:证明,只要.,取0,则当时,有,所以,例:证明,注:对于,证明:,(极限题区分两种情况:(1)证明极限,找X;(2)极限是条件,X.),例:证明,证明:,则称常数为当时的极限，记为：,或,二自变量趋于有限值时的极限,定义2设在的某一去心邻域内有定义.如果对于当时，有,注意:(1)有没有极限，与在点处是否有定义没有关系。,(2)是任意的，是相应的.,几何解释:,0,例1:用定义证明:,用倒推法导出希望的条件,是从出发导出,满足:;套极限的定义复述,即：。,用函数极限定义证极限：,当时,有,取0,则当时,有,只要.,所以,(4)证：因为,所以,则当时,有,故取,故对要使得，只要即，,还必须x0,(5)证：因为,故对取,在x4时，可以限制即,则,要使,只要,即,则当时有,所以,(6)取,定义3（单侧极限）设在内有定义.若对当时，恒有,则称A为f（x）当时的右极限.记作,=,左,=,左右极限存在但不相等,例2,证,注:对于,证明:,(极限题区分两种情况:(1)证明极限,找X;(2)极限是条件,X.),结论：的充分必要条件是,二函数极限的性质,定理1(唯一性)若存在,则必唯一.,定理2(局部有界性)若存在,则在附近有界.即,定理3(局部保号性)若则对于,都有.,注：这是加强的保号性，保号性定理有6个。,推论1若则对于,都有.,推论2若在内函数,且则.,注：有2个。,三函数极限与数列极限的关系,定理4(Heine定理)的充要条件是任何一个趋于而不等于的数列,必有,证,（必要性）,例:,证,二者不相等,
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