第九讲-曲线概要PPT课件

-,1,第九讲曲线,1Hermite曲线2Bezier曲线,-,2,1Hermite曲线,Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为：,该曲线的矢量表达式为：,上式为三次曲线的代数形式,Ai(i=0,1,2,3)成为代数系数.,-,3,矩阵表达式为：,于是，,应用端点P0和P1，以及端点切矢P0和P1,可得：,解得，,-,4,上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0和P1。,代入,得到,-,5,把F0,F1,G0,G1称为调和函数（或混合函数），即该形式下的三次Hermite基。,F0和F1专门控制端点的函数值对曲线的影响，而同端点的导数值无关；G0和G1则专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的影响，而同端点的函数值无关。或者说，F0和G0控制左端点的影响，F1和G1控制右端点的影响。下图给出了这四个调和函数的图形。,-,6,-,7,Hermite,-,8,Hermite曲线的程序设计,Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量，利用它的参数表达式在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Hermite曲线。,为程序设计方便，先计算各个系数:,最后代入下式计算:,-,9,2Bezier曲线,1962年，Bezier提出了一种自由曲线曲面的设计方法，称为Bezier方法。其具体设计过程是：从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出Bezier特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位置，直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘出曲线样图。,-,10,2.1Bezier曲线定义,在空间给定n+1个控制顶点Pi(I=0,1,n)，称下列参数曲线为n次Bezier曲线。,称为伯恩斯坦基函数（BernsteinBasis）。,一般称折线,为P(t)的控制多边形；称,各点为P(t)的控制顶点。,-,11,（3）三次Bezier曲线,常用的三次Bezier曲线，由4个控制顶点确定。容易算出，与其对应的4个Bernstein基函数为：,相应的Bezier曲线为,-,12,（1）一次Bezier曲线,二次Bezier曲线由三个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为,对应于一条抛物线。,（2）二次Bezier曲线,一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为,这是一条连接P0和P1的直线段。,-,13,2.2Bezier曲线的程序设计,实际应用的主要是三次Bezier曲线。利用它的参数表达式在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。,为程序设计方便，改写曲线的表达式为：,-,14,注意：再添加一个z坐标，就可得到空间Bezier曲线。,-,15,2.3Bezier曲线的性质,在Bernstein基函数,中，n为基本曲线的次数，i为基函数的序号。由排列组合和导数运算规律可以推导出Bernstein基函数的如下性质：,（1）正性（非负性）：,（2）权性：,（3）对称性：,（4）导数性质：,（5）递推性质：,-,16,Bezier曲线的一些性质：,1）端点性质,曲线经过特征多边形的首末点。因为,曲线P(t)在P0点与边P0P1相切，在Pn点与,2）对称性,由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的次序完全颠倒过来后，曲线的形状不变，但走向相反。这表明,同一特征多边形定义的Bezier曲线是惟一的.,相切。因为,-,17,（3）凸包性,所以，P(t)是P0,P1,Pn凸线性组合。这证明Bezier曲线完全被包在其特征多边形的凸包内。,所以，控制顶点P0,P1,Pn的凸包为:,-,18,（5）交互能力,（4）几何不变性,由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标系的选取无关。此性质就是Bezier曲线的几何不变性。,几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形变换带来很多不便之处。,控制多边形P0P1Pn大致地勾画出Bezier曲线P(t)的形状。要改变P(t)的形状，只要改变P0,P1,Pn的位置即可。,-,19,（6）变差减小性,（7）保凸性,如果Bezier曲线P(t)的控制多边形P0P1Pn是一平面图形，则该平面内的任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与控制多边形P0P1Pn交点的个数，这一性质称为变差减小性。此性质说明Bezier曲线比控制多边形所在的折线更光顺。,如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，则称这个曲线生成的方法具有保凸性。我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样形成一个闭的凸多边形，则相应的Bezier曲线是一个凸的平面曲线。此性质就是Bezier曲线的保凸性。,-,20,2.4三次Bezier曲线的拼接三次Bezier曲线曲线的拼接，工程上经常采用分段绘制三次Bezier曲线，然后将分段的Bezier曲线连接起来，形成Bezier样条曲线。设有两条Bezier曲线Q1(t)和Q2(t)，其特征多边形顶点分别为：1、2、3、4和R1、R2、R3、R4，如图。,-,21,曲线间连接的光滑度的度量有两种：1）n阶参数连续性（Cn）：在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微。2）n阶几何连续性（Gn）：比Cn弱的连续性。Cn一定Gn。设两段曲线P(t)和Q(t)（0=t=1）当P(1)=Q(0)时，C0，G0连续。当C0（G0）连续，P(1)=aQ(0)时，G1连续。当C0（G0）连续，P(1)=Q(0)时，C1连续。当C0,C1连续，P(1)=aQ(0)时，G2连续。当C0,C1连续，P(1)=Q(0)时，C2连续。一般，在曲线、曲面造型中，只用到G1，C1和G2，C2。,-,22,Q1(t)=Q2(t),P4P3=(R2R1),1）G连续,根据端矢量条件，对Q1(t)曲线则有：Q1(t)=3(P4P3),Q2(t)=3(R2R1),共点：P4和R1共点。共线：P3、P4(R1)、R2三点共线。Q1(t)为Q2(t)长度的倍。,-,23,2）G连续若Q1(t)曲线为m次，而Q2(t)曲线为n次，则有